专题8-6 独立性检验与回归方程14类题型-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题8-6 独立性检验与回归方程14类题型 题型一 独立性检验 题型二 独立性检验与超几何分布 题型三 独立性检验与二项式分布 题型四 独立性检验与正态分布 题型五 样本中心的计算及应用 题型六 相关系数的计算 题型七 求线性回归直线方程（结合相关系数与二项式分布，超几何分布，正态分布） 题型八 残差分析 题型九 相关指数 题型十 求非线性回归方程：幂函数方程拟合 题型十一 求非线性回归方程：指数函数方程拟合 题型十二 求非线性回归方程：对数函数方程拟合 题型十三 回归方程与独立性检验 题型十四 相关系数与独立性检验 独立性检验 1． 独立性检验的基本步骤  (1) 提出零假设：X和Y相互独立（即X和Y无关）   (2) 根据联表给出的数据算出(其中)，得到随机变量，并与临界值xα比较．  (3) 根据实际问题需要的可信程度（小概率值α）确定临界值“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过，即成立；否则就说没有的把握认为“X与Y有关系”，即不成立. （4）下表给出了产独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （5）临界值 统计量也可以用来作相关性的度量，越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关 .忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准. 线性回归方程 解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析. 最小二乘法 将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中 ，＝－. 回归模型的处理方法 幂函数型：（n为常数，a，x，y均取正值），两边取常用对数，即， 令，，原方程变为，然后按线型回归模型求出，． 指数函数方程：1.直接设指数求解；2.取对数化简，再设对数求解 对数函数方程：1.直接设对数求解；2.对指数型取对数 残差与残差分析 （1）残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． （2）残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值. （3）残差计算思路∶先求出回归方程y＝bx＋a（b，a直接套公式即可），然后把表格中每一个x值通过方程算出对应的每一个y值，最后与表格中的y值对应相减即可。数据点和它在回归直线上相应位置的差异yi－是随机误差的效应，称 ＝yi－为残差 残差计算公式∶实际观察值与估计值（拟合值）之间的差 （4）残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高． （5）残差平方和法 残差平方和越小，模型的拟合效果越好． （6）R2 在回归分析中，可以用来刻画回归的效果，它表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好． 模型的拟合效果用相关指数来表示，，表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关，因此，越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 注：决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 重点题型·归类精练 题型一 独立性检验 1． 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.经计算，则所得到的统计学结论是：有（    ）的把握认为“学生性别与支持该活动有系”. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.