重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

重庆八中2023-2024学年度（上）期末考试高二年级 数学试题 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 4. 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ） A. 0.9 B. C. 1.2 D. 1.05 5. 在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线 与圆 相交于两点，若 ，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，且，记数列的前 项和为，则（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 重庆八中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 成绩在区间内的学生有46人 B. 图中的值为 C. 估计全校学生成绩的中位数约为 D. 估计全校学生成绩的分位数为90 10. 已知圆和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. 点为圆上一动点，的最大值为 C. 圆与圆的公共弦所在直线方程为 D. 圆与圆的公共弦长为 11. 设数列 的前 项和为 ，满足 ，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. 等差数列 B. C. 当时，有最大值 D. 设，则当或时，数列的前项和取得最大值 12. 已知双曲线，过左焦点作一条渐近线垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（ ） A. 线段最小值为 B. 内切圆与直线相切于点 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在等比数列 中，，则 _________． 14. 某公司招新面试中有3道难度相当的题目，小明答对每道题目的概率都是0.7.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，则小明最终通过面试的概率为______. 15. 已知数列满足，则数列的前8项和_________． 16. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 请将正确答案做在答题卷相应位置，有必要的推理或证明过程． 17. 为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100名学生的平均成绩； （2）若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 18. 已知数列首项，设为数列的前项和，且有． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为棱上的点，且． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 20. 已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点． （1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）证明：为线段的中点． 21. 已知等差数列的首项，公差．记的前项和为． （1）若，求； （2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围． 22. 设椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）若为坐标原点