专题10无理方程（3大考点+5种题型）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 专题10无理方程（3大考点+5种题型） 思维导图 核心考点与题型分类聚焦 考点一：无理方程的概念和解法 考点二：无理方程的根的讨论 考点三：无理方程的应用 题型一：无理方程的概念 题型二：不解方程，判断方程是否有实数根 题型三：解无理方程 题型四：无理方程的根的讨论 题型五：无理方程的应用 考点一：无理方程的概念和解法 1．无理方程的概念 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 2．解无理方程的方法 通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解． 3．解无理方程的一般步骤 （1）方程两边平方，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 考点二：无理方程的根的讨论 增根的概念 无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根. 考点三：无理方程的应用 寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍． 题型一：无理方程的概念 【例1】下列方程是哪些是关于的无理方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式】下列方程是无理方程的是（ ）． A． B． C． D． 题型二：不解方程，判断方程是否有实数根 【例2】不解方程，说明下列方程是否有实数根： （1）； （2）． 【变式1】根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】下列哪个方程有实数解（ ） A． B． C． D． 题型三：解无理方程 【例3】解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】解下列方程： （1）； （2）； 【变式2】解下列方程： （1）； （2）． 【变式3】解方程：． 【变式4】解方程： （1）； （2）． 【变式5】解下列方程： （1）； （2）． 【变式6】解下列方程：． 【变式7】解下列方程：． 题型四：无理方程的根的讨论 【例4】关于的方程有一个增根x=4，求： （1） a的值； （2） 方程的根． 【变式1】若方程有一个根是，求实数m的值． 【变式2】若关于x的无理方程有实数根，求k的取值范围． 【变式3】若关于x的方程只有一个实数根，求m的取值范围． 题型五：无理方程的应用 【例5】用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米， 求这个直角三角形的另两条边的长度． 【变式1】建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2 倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原 场地的面积． 【变式2】如果轴上一点P到两点A（3，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标． 【变式3】与为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着 图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于 距8千米，距5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？ 是几千米？ A B P N M O l1 l2 【变式4】有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个? 一、单选题 1．（2023下·上海静安·八年级统考期末）下列方程中，属于无理方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·上海虹口·八年级统考期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2023下·上海普陀·八年级校考阶段练习）下列方程没有实数根的个数是（    ） （1），（2），（3），（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2021下·上海浦东新·八年级校考期中）下列方程有实数根的是（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是 ． 7．（2023下·上海宝山·八年级统考期末）方程的根是 ． 8．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ． 9．（2023下·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）如果关于的无理方程有实数根，那么的值