2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 一、解答题 1．已知开口向下的抛物线与x轴的交点为A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，OC＝3OA． (1)求出该抛物线的解析式； (2)在抛物线第四象限上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于△PBC的面积的3倍，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，经过点P的直线交对称轴于G，作PH⊥PG，交对称轴于H，当直线PG与抛物线有且只有一个交点P时，求证△PGH的外心一定是某个定点，并求出这个定点的坐标． 2．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，点D与点C关于直线MN对称，若，求点P的坐标． (3)直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明． 3．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）． （1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式． （2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值． 4．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 5．将抛物线C：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移得到抛物线．抛物线的顶点在y轴上． (1)分别求抛物线的顶点坐标及抛物线的解析式； (2)点A在抛物线对称轴右侧的图像上，点B在抛物线的对称轴上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)如图，直线（，k为常数）与抛物线交于E，F两点，M为线段EF的中点直线与抛物线交于G，H两点，N为线段GH的中点，求证：直线MN经过一个定点． 6．已知：抛物线C1：y=x2－2a x+2a+2 顶点P在另一个函数图象C2上， （1）求证：抛物线C1必过定点A（1，3）；并用含的a式子表示顶点P的坐标； （2）当抛物线C1的顶点P达到最高位置时，求抛物线C1解析式；并判断是否存在实数m、n，当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，说明理由； （3）抛物线C1和图象C2分别与y轴交于B、C点，当△ABC为等腰三角形，求a的值． 7．如图，抛物线与轴相交于点A(3，0)和点B(1，0)，与轴交于点C，顶点为点D，对称轴与轴相交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：ACD是直角三角形； (3)设点P为此抛物线上的一个动点，将ACP沿直线AC对折后得到，且顶点恰好在直线DO上，请直接写出点P的横坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线的顶点为A，点M（m，n）为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），MC交y轴于D点，连接BC． (1)当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值； (2)当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点； (3)若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式． 10．阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、 Q（x2，y2），则P、Q