夯基专题5 导数的应用讲义-2024年高三数学二轮专题复习

夯基专题5 导数的应用 【核心知识】考向一 利用导数研究函数单调性 考点一：利用导数研究函数单调性 单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性.利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用. 利用导数求函数单调区间的步骤： ⑴函数的定义域； ⑵求，解不等式或； ⑶下结论，写出函数的单调区间. 考点二：讨论含参函数f(x)的单调性 ⑴函数的定义域； ⑵求，讨论角度：①导函数有无零点讨论 (或零点有无意义)；②导函数的零点在不在定义域或区间内；③导函数有多个零点时，讨论零点的大小； ⑶利用的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在该子区间上的单调性. 考点三：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ⑴可导函数在区间上单调，转化为(或) 在区间上恒成立； ⑵可导函数在区间上存在单调区间，转化为(或)在该区间上存在解集，即转化为不等式能成立问题； ⑶已知函数在区间内不单调，转化为存在变号零点； ⑷若已知 在区间上的单调性，区间上含有参数时，可先求出的单调区间，转化为区间是其单调区间的子区间. 【典例精讲】 例1.(2023·吉林省长春市月考) 已知函数，． 当时，求函数的极值； 求函数的单调区间． 例2.(2023·湖北省黄石市月考) 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省苏州市月考) 已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练1-2(2023·山西省朔州市模拟) 设函数为自然常数 当时，求的单调区间； 若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 考向二 利用导数求函数极值 【核心知识】 考点一：求函数的极值与极值点 求函数极值的步骤： ⑴求导数； ⑵求方程的所有实数根； ⑶列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 ③如果在的左右侧的符号不变，则不是极值点． 考点二：根据极值、极值点求参 已知函数极值点个数转化为导函数零点个数，转化为已知函数零点个数求参. 解含参数的极值问题要注意： ① 是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数在区间内有极值，那么在内不单调. 【典例精讲】 例3.(2023·河北省张家口市期中) 已知函数的导函数为，写出满足的极大值点为的，的一组值：          ，          ． 例4.(2023·广东省广州市月考) 已知函数，． 讨论函数在定义域内的极值点的个数； 若函数在处取得极值，，恒成立，求实数的最大值． 【拓展提升】 练2-1(2023·四川省成都市期中) 若函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围为          ． 练2-2(2023·湖南省娄底市月考) 已知函数． 当时，求的单调区间； 设，证明：当时，有两个极值点，，并求的取值范围． 考向三 利用导数求函数最值 【核心知识】 考点一：求函数在闭区间内的最大值和最小值 ⑴区间不含有参数：利用导数判断函数在区间上的单调性，若单调则在区间端点处取最值，若不单调则在极值点或区间端点处取最值； ⑵区间含有参数：分类讨论极值点与区间的位置关系，判断函数在区间上的单调性，从而得到函数的最值． 考点二：单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立： 1.； 2.； 3.； 4.. 考点三：双变量不等式与等式 1.不等关系 ①若，总有成立，故； ②若，有成立，故； ③若，有成立，故； ④若，有成立，故． 2.相等关系 记的值域为, 的值域为, ①若，有成立，则有； ②若，有成立，则有； ③若，有成立，故. 【典例精讲】 例5.(2023·辽宁省沈阳市模拟) 函数在区间上的最大值、最小值分别为 (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 例6.(2023·安徽省合肥市模拟) 已知函数  讨论函数的单调性； 当时，若函数在上的最小值是，求的值． 【拓展提升】 练3-1(2023·新高考1卷第19题) 已知函数． 讨论的单调性； 证明：当时，． 练3-2(2023·福建省厦门市模拟) 已知函数在区间上存在零点，则的最小值为          ． 考向四 三次函数 【核心知识】 考点一：三次函数的基本性质 三次函数为： (且)，其基本性质有： ①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． ③单调性和图象： () 图象 ④对称性：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；. 考点二：三次方程的实根个数 结合函数图象可得： 1.当时，则