第2讲 导数的运算、导数与函数单调性、极值和最值问题讲义-2024届高三数学二轮复习

第2讲 导数与导数在函数单调性、极值和最值中的运用 1、 【高考考情】 1. 导数的几何意义和运算是导数的基础，多数考在选择或者填空，几何意义有时候出现在解答题第1小问或作为求解析式的某个步骤，难度较小； 2. 利用导数研究函数的单调性是导数考查的重点，常在选填或作为解答题的第一问，难度中等偏上，综合性较强； 3. 极值和最值问题常在选填后几题，或解答题第一问出现，对综合分析能力要求稍高一些。 2、 【考点聚焦】 1. 平均速率：函数从到的平均变化率为，若 ，则平均变化率为. 2. 导数的概念：设函数在区间上有定义，，当时，比值无限趋近于一个常数A，则称在处可导，并称常数A为函数在处的导数，记作. 3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 4. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 (为常数) 5. 导数的四则运算法则 （1）两个函数和的和（或差）的导数法则： . （2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . （3）由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 6. 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 7. 切线问题 · 在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. · 过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 8. 利用导数研究函数的单调性： 导数与函数单调性的关系： （1） 若函数在区间上可导，若恒成立，则在上单调递增； （2） 函数在区间上可导，若恒成立，则在上单调递减； （3） 函数在区间上可导，若，则在是常数函数. （4） 函数在区间上单调递增（递减），可转化为在上恒成立. （5） 函数在区间上存在单调递增（或递减）区间，可转化为在上有解. 9. 函数的极值和最值： （1） 若函数在的左侧有，右侧有，则为函数的极大值点； （2） 若函数在的左侧有，右侧有，则为函数的极小值点； 10. 导数与函数的最值： （1） 函数在区间上是一条连续不断的曲线，那么在区间上必有最大值和最小值; （2） 求函数在区间上的最值的步骤： ①求出在区间上的极值； ②将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3、 【典例分析】 题型一 导数的基本运算 1. （2018天津）已知函数为的导函数，则 . 2. （2020新课标全国三）设函数，若，则 . 3. 若，则等于（ ） 4. 已知函数是的导函数，则 . 【变式练习】 1. 已知函数，则（    ） A． B． C．6 D．14 2. 已知函数，则的值为 ． 题型二 导数的几何意义 · 在型切线方程 1. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则 . 2. 曲线在点处的切线的斜率为，则 . 3. （2020新课标全国三）设函数，曲线在点处的切线与轴垂直，求. 【变式练习】 1. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） 2. 在平面直角坐标系中，若曲线过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 . 3. 已知，则曲线在点处的切线斜率为（ ） 4. 已知函数，当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积. · 过型切线方程： 1. 写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 2. 已知函数 （1）若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标； （2）求曲线的过坐标原点O的切线的方程． 【变式练习】 1. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 . 2. 曲线的过原点的两条切线为 ， . 3. 已知函数. （1）用导数的定义，求函数在处的导数； （