第四章《圆与方程》竞赛题 - 2020-2021学年高一下学期数学人教A版必修2

绝密★启用前 2020-2021学年人教A版必修2第四章《圆与方程》竞赛题 一，单项选择题（本大题共8小题） 1．在平面直角坐标系中，已知点，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设点根据可得点的轨迹是圆心为，半径为的圆，将问题转化为两个圆有公共点问题，借助圆与圆的位值关系计算化简即可. 【详解】 解：设点，由可得 化简得即点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 因为点在圆上，所以圆和有公共点， 所以， ，又，所以 故选：D 【点睛】 圆与圆的位值关系常见题型解题策略： （1）判断两圆位置关系的方法： 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法，重视两圆内切的情况，作图观察； （2）两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法： 两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项得到； （3）两圆公共弦长的求法： 求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距，半弦长，半径构成直角三角形，利用勾股定理求解. 2．已知圆，有下列四个命题： ①一定存在与所有圆都相切的直线； ②有无数条直线与所有的圆都相交； ③存在与所有圆都没有公共点的直线； ④所有的圆都不过原点. 其中正确的命题个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 ①可先设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径建立等式求解. ②③根据直线与两条切线的相对位置，可找出与圆相交和相离的直线 ④假设过原点，有解 【详解】 由圆知 圆心坐标为，半径，圆心在直线上， ①假设存在直线与所有圆均相切，设为 则到的距离为 可得 直线与所有圆均相切，故切线应与无关，可取，有 解得. 即 所以，存在与所有圆均相切的直线，故①正确； 过点介于两相切直线之间的直线，均与所有圆相交，故②正确； 过点在两相切直线之外部区域的直线，与所有圆均没有交点，故③正确； 假设过原点，则，得或，故④错误. 故选：C 【点睛】 处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 3．直线 ，动直线 ，动直线 ．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线l1与l2交于点P，则的面积最大值（ ） A． B． C． D．11 【答案】C 【分析】 根据两直线的交点为，联立直线方程用表示参数，整理可得点轨迹为圆，而，要使的面积最大，即到直线 距离最大，进而求面积. 【详解】 由题意，动直线l1与l2交于点，则， ∴消去参数a，整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆上，而到直线 的距离，故到直线 最大距离为， 由，则， ∴此时有最大面积为. 故选：C 【点睛】 关键点点睛：根据两动直线的交点，通过设动点结合动直线方程求其轨迹—圆，结合圆上点到直线距离最大时有最大面积，即可求三角形面积的最大值. 4．已知集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4，θ∈R}，B={（x，y）|3x+4y﹣19=0}.记集合P=A∩B，则集合P所表示的轨迹的长度为( ) A．8 B．8 C．8 D．8 【答案】A 【分析】 由圆（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4的圆心为（3+4cosq，5+4sinq），可知其圆心的轨迹方程为（x﹣3）2+（y﹣5）2=16，易知动圆（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4所形成的图形为圆环，利用垂径定理结合图像，即可得解. 【详解】 集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4，θ∈R}， 圆的圆心（3+4cosq，5+4sinq），半径为2， 所以圆的圆心的轨迹方程为：（x﹣3）2+（y﹣5）2=16， 如图： 集合A的图形是图形中两个圆中间的圆环部分， 圆心C（3，5）到直线3x+4y﹣19=0的距离为：d2， 所以，A∩B就是|MN|=228. 故选：A. 【点睛】 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了垂径定理，同时考查了对动态图像的直观想象，属于较难题. 5．过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 把圆的方程化成标准式，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，由题意可知，点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程得到一个关系式，让其大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数的取值范围． 【详解】 把圆的方程转化成标准方程得.由，解得. 又点应在已知圆的外部，把点的坐标代入圆的方程得，即，解得或，则实数的取值范围是，故选D. 【点睛】 本题考查点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条