第一讲 实数及其运算讲义-备战2024年中考数学一轮复习讲与练（全国通用）

第一章 数与式 第一讲 实数及其运算 知识梳理 夯实基础 知识点1：实数的分类 无理数的几种常见形式 (1)开方开不尽的数的方根,如，，等; (2)π及化简后含π的数; (3)构造型的数,如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)等; (4)某些三角函数值,如sin 60°,cos 45°等. 知识点2：实数的相关概念 1、数轴 （1）数轴的三要素:原点、 和 。例： （2） 实数和数轴上的点 。　 2、 相反数 （1） 定义：只有 不同的两个数互为相反数。 （2） 的相反数是 ，特殊地，0的相反数是 。 （3） 实数，互为相反数。 （4） 互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离 。 3、 绝对值 （1） 定义：在数轴上，表示数的点到 的距离，叫做数的绝对值，记作。 （2） 或 4、倒数 （1）定义：如果两个实数的乘积为 ，那么这两个实数互为倒数。 （2）实数，互为倒数。 （3）非零实数的倒数为 　，0没有倒数，倒数等于它本身的数是　　 。 知识点3：科学计数法 科学记数法的表示形式为 ，其中，为整数。 用科学记数法表示绝对值较大的数：当原数的绝对值大于等于10时，n等于原数的整数位数减去1； 用科学记数法表示绝对值较小的数：当原数的绝对值小于1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前面零的个数(含整数位上的零)。温馨提示： 将含有计数（量）单位的数字用科学记数法表示时,应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示。常考的计数单位有：，，；常考的计量单位有：，，等。 知识点4：近似数 1、定义：一个与 很接近的数叫做近似数。 2、精确度：一般由“四舍五入”法取近似数，“四舍五入”到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。 知识点5：实数的运算 1、加、减、乘、除、乘法的运算法则 （1）加法法则： 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两数相加和为零； 一个数与零相加，仍得这个数。 （2）减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 （3）乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘仍得0。 （4）除法法则： 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 （5）几种常见的运算： 乘方：（n个相乘） 零次幂：任何非零数的零次幂都为1，即 -1的奇、偶次幂：-1的偶次幂为1，奇次幂为-1。 负整数指数幂：任何不为零的数的-p(p为正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数；特别地，一个不为零的数的-1次幂是其倒数。即（，为正整数）， 2、运算律： (1)加法运算律 加法交换律:； 加法结合律:。 (2)乘法运算律 乘法交换律:； 乘法结合律:； 分配律:。 3、实数的混合运算顺序 (1)计算每一小项的值(如零次幂、负整数指数幂、开方、绝对值、乘方等)； (2)根据原式中的运算符号进行实数的混合运算(先乘除，后加减，有括号的先算括号内的，同级运算按照从左到右的顺序进行)； (3)写出算式的结果。 知识点6：实数的大小比较 数轴法 将两个数表示在同一数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大。 类别法 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 差值法 设，是两个任意实数，则；； 平方法 若，则(用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较). 作商法 ⇔若b>0，则a>b；若b<0，则a<b. 估算法 对任意两个正实数a，b，先估算出a，b两数的范围，再进行比较. 放缩法 把要比较的两个数进行适当放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数大小的目的. 典例解析 呈现命题点 命题点1：实数的分类 1．（2023·四川德阳·统考中考真题）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2023·云南文山·统考一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（    ） A． B．0 C．5 D． 3．把下列各数填在相应的括号内． （每两个1之间逐次增加1个0） ①正数集合{ ……} ②整数集合{ ……} ③负分数集合 {