第二讲 数的开方及二次根式讲义-备战2024年中考数学一轮复习讲与练（全国通用）

第一章 数与式 第二讲 数的开方及二次根式 知识梳理 夯实基础 知识点1：平方根、算术平方根与立方根 名称 定义 性质 平方根 一般地,如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根。 一个正数的平方根有两个，它们互为 ；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 当时,是有意义的，它表示的算术平方根. 一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是 ，即= 。  立方根 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根. 正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。立方根具有唯一性。 易失分点的“双重非负性” 具有双重非负性:①被开方数a必须是非负数,即;②是非负数,即≥0。 知识点2：二次根式的相关概念 二次根式 形如的式子。 ，， 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ③分母中不含二次根式 ，， 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 和 知识点3：二次根式的性质 性质1 ，二次根式双重非负性 性质2 （） 性质3 知识点4：二次根式的运算 二次根式乘法 （） 二次根式除法 （） 二次根式加减 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 注意: 1.有理数的加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及多项式的乘法公式仍适用于二次根式的运算. 2.二次根式运算的结果一定要化为最简. 知识点5：二次根式的估值 用有理数估算二次根式的大致范围时，一般采用“相邻平方比较”法，即用两个相邻数的平方与被开方数比较，若被开方数介于这两个相邻数的平方之间，则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间，估算的精确度可由相邻数的精确度来确定。 典例解析 呈现命题点 命题点1：平方根、算数平方根、立方根 1. 下列说法不正确的是（     ） A．的平方根是 B．是81的一个平方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】依据平方根、算术平方根、立方根的性质进行判断即可． 【详解】A.的平方根是，说法正确，不符合题意； B.是的一个平方根，说法正确，不符合题意； C.的立方根是，说法正确，不符合题意； D.的算术平方根是，说法不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根及立方根的性质，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根的性质是解题的关键． 2. 下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 【答案】A 3. 的平方根是（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先根据算术平方根可得，再根据平方根的概念即可得到答案． 【详解】解：，， 的平方根是， 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，熟练掌握平方根的概念是解题关键． 4. （2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（    ） A． B． C．16 D．4 【答案】C 【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列得，求出，即可得到这个数． 【详解】解：由题意得，得， ∴ ∴这个数是， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，熟记性质是解题的关键． 5. 下列各式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义逐项分析即可． 【详解】A．，故不正确，不符合题意； B．，正确，符合题意； C．，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 命题点2：二次根式的相关概念及性质 6. （2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】各式利用平方根、立方根定义计算即可求出值，即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了立方根，平方根以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键． 7. （2021·广东佛山·统考二模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：A．