高三数学开学摸底考（天津专用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷

2024届高三下学期开学摸底考（天津专用） 数 学 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 2，本卷共9小题，每小题5分，共45分 参考公式： •如果事件A、B互斥，那么． •如果事件A、B相互独立，那么． •球的体积公式，其中R表示球的半径． •圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知：，：，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 5．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（    ） A．241 B．231 C．213 D．192 7．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（    ）      A． B． C． D． 8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若有三个不同的实数，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第II卷 注意事项 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．设为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 11．的展开式中各项系数之和为64，则的展开式中常数项为 ． 12．已知直线与圆交于A，B两点，则当取得最小值时，其余弦值为 ． 13．函数的图象为，如下结论中正确的是 ． （1）图象关于直线对称； （2）图象关于点对称； （3）函数在区间内单调递增； （4）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象． 14．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ． 15．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 . 3、 解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。 16．在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 17．如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. (1)求证：⊥平面； (2)求二面角余弦值的大小； (3)求点到平面的距离． 18．已知等比数列是递增数列，且，. (1)求通项公式； (2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围. 19．已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为. (1)求C的方程； (2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点， ①试证明直线过一定点，并求出此定点； ②从点作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）. 20．