第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 八年级 第2试试题

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 初二　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.实数a,b,c,d 满足:①a+b=c+d;②a+d <b+c;③c<d.则a,b,c,d 的大小关系是 ( ) (A)a <c<d <b. (B)b<c<d <a. (C)c<d <a<b. (D)c<d <b<a. 2.下列等式中不恒成立的是( ) (A) a+b a + a+b b = a+b a ·a+b b . (B) a a+1- b b+1= a a+1 · b b+1 . (C)a+ a a2-1 =a2· a a2-1 . (D) a3+b3 a3+(a-b)3 = a+b a+(a-b) . 3.一组数据由五个正整数组成,中位数是4,且唯一的众数是7,则这五个正整数的平均数等于 ( ) (A)4.2或4.4. (B)4.4或4.6. (C)4.2或4.6. (D)4.2或4.4或4.6. 4.化简:4+ 7 - 4- 7 =( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)2. 图1 5.Put8identicalbalsinto3differentboxes,each boxhasatleast 2bals.Howmanydifferentwaystoputthebals? ( ) (A)6. (B)12. (C)18. (D)36. (英汉词典:identical完全相同的) 6.如图1,在平面直角坐标系内,A、B、C 三点的坐标分别是(0,0),(4,0), (3,-2),以A、B、C 三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( ) (A)第一象限. (B)第二象限. (C)第三象限. (D)第四象限. 图2 7.如图2,设点A、B是反比例函数y= k x 图象上的两点,AC、BD 都垂直于y轴, 垂足分别是C、D.连接OA、OB,若OA 交BD 于点E,且 △OBE的面积是2011,则梯 形AEDC 的面积是( ) (A)2009. (B)2010. (C)2011. (D)2012. 8.如图3,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,P 是AD 上的动点,PE⊥AC于E, PF ⊥BD 于F,则PE+PF 的值是( ) 图3 (A)4.6. (B)4.8. (C)5. (D)7. 9.设a,b是实数,且 1 1+a- 1 1+b= 1 b-a ,则1+b 1+a+ 1+a 1+b 的值是( ) (A)3. (B)-3. (C)3(b-a). (D)无法确定的. 10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后,分母是三位数,这样的循 环小数有( ) (A)798个. (B)898个. (C)900个. (D)998个. 二、填空题(每小题4分,共40分.) 11.若a ≠0,计算:a2012÷a2011÷a= . 12.若以x 为未知数的方程 2x+a x+2 =- 1的根是负数,则实数a 的取值范围是 . 13.若n(n≠0)是以x 为未知数的方程x2-mx-5n=0的根,则m-n的值是 . 14.正整数a,b满足等式 13 15= a 3+ b 5 ,那么a= ,b= . 图4 15.已知x+ 1 x =6 (0<x <1),则 x - 1 x 的值是 . 16.已知点A(4,m),B(-1,n)在反比例函数y= 8 x 的图象上,直线AB 与x 轴交于点C.如果点D 在y 轴上,且DA=DC,则点D 的坐标是 . 17.如图4,等腰直角 △ABC中,∠A=90°,底边BC的长为10,点D 在BC上, 从D 作BC 的垂线交AC 于点E,交BA 的延长线于点F,则DE+DF 的值是 . 图5 18.如图5,在边长为6的菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于点E,并且点E 是AB 的中点,点F 在线段AC 上运动,则EF+FB 的最小值是 ,最大值是 . 19.若实数a,b,c满足 ab a+b= 3, bc b+c= 4, ca c+a= 5,则 abc ab+bc+ca 的值是 . 20.SupposeM =abc321isa6 digitnumber.a,b,andcarethreediferent1 digitnumbers, andnotlessthan4.IfMisamultipleof7,thentheminimumvalueofMis . (英汉词典:multiple倍数) 三、解答题 每题都要写出推算过程. 图6 21.(本题满分10分) 如图6,直线y=x+b(b≠0)交坐标轴于A、B 两点,交双曲线y= 2 x 于点D, 从点D 分别作两坐标轴的垂线DC、DE,垂足分别为C、E,连接BC、OD. (1)求证:AD 平分 ∠CDE. (2)对任意的实数b(b≠0),求证:AD·