第10讲 两角和与差的三角函数（六大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第10讲 两角和与差的三角函数 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 知识点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； （3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； （4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则． （5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同． 知识点三：两角和与差的正切函数 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【典型例题】 题型一：两角和与差的正（余）弦公式 【例1】（2024·广东深圳·高一校考期末）计算：（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·高一校联考期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）（    ） A． B． C． D． 题型二：两角和与差的正切公式 【例2】（2024·广东肇庆·高一校考期末）计算：＝ . 【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）的值为 ． 【变式2-2】（2024·高一课时练习）（1） . （2） . 【变式2-3】（2024·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中） . 题型三：给角求值 【例3】（2024·河北保定·高一校联考期中） ． 【变式3-1】（2024·高一课时练习）求 . 【变式3-2】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习） . 【变式3-3】（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中）______. 题型四：给值求值 【例4】（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知函数． (1)求的值； (2)设，求的值． 【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-2】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，及的值． 【变式4-3】（2024·全国·高一专题练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型五：给值求角 【例5】（2024·全国·高一专题练习）已知，，其中，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-1】（2024·高一课时练习）已知，，，. (1)求tan α的值； (2)求的值； (3)求的值. 【变式5-2】（2024·四川成都·高一统考期末）已知，. (1)求； (2)若，，求的值. 【变式5-3】（2024·江苏常州·高一校联考阶段练习）已知锐角，且满足. (1)求； (2)求. 题型六：两角和与差的正切公式的综合应用 【例6】（2024·云南曲靖·高一校考期末）（1）已知，，且，求的值； （