平面向量的数量积及应用提升练-2024届高考数学一轮基础知识复习

平面向量的数量积及应用 一、单选题 1．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，若，则向量的夹角为（　　） A． B． C．或π D．或π 4．已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．关于平面向量，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 7．设向量，，如果，，那么（    ） A． B． C． D． 8．已知△ABC外接圆的半径为1，其圆心O满足，，则在上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D．3 9．向量满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，为单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（　  ） A． B．1 C． D．2 12．如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．如图，直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1和2.点是直线上一个动点，过点A作，交直线于点，则（    ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 14．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在方向上的投影向量为，则的最小值为 C．若点P为BC的中点，则 D．若，则为定值18 15．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．已知是的外接圆圆心，，则向量在向量上的投影向量为 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心． 16．下列说法正确的有（    ） A．在中，，则为锐角三角形 B．已知O为的内心，且，，则 C．已知非零向量，满足：，，则的最小值为 D．已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 三、填空题 17．设四边形为平行四边形，.若点满足，则= . 18．已知、为单位向量且夹角为，设，，则在上的投影向量为 ． 19．已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= . 20．已知点O（0,0），M（20,22），将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点N的坐标为 ． 21．已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 ． 四、问答题 22．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设，． (1)用向量，表示和； (2)若，，求． 23．如图，在直角中，角为直角，点是边的中点，点满足，点是边上的动点.    (1)若点是边上靠近的三等分点，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 参考答案： 1．B 方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 2．D 因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 3．B 由得：， 即， ，解得：或； ，，， 又，. 4．B 因为是等边三角形，所以. 所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以. 所以. 5．B    因为，故为的中点，而为外心， 故为直角三角形，且， 取的中点为，连接，则， 因为，故，故， 而为锐角，故，故，所以， 而向量在向量上的投影向量为， 6．D 对于A，若为零向量，满足，但与的关系无法确定，所以结论不一定成立； 对于B，，分别和，共线，所以不一定成立； 对于C，若，则，，，因为与不一定相等，所以结论不一定成立； 对于D，这是平面向量数量积的分配律，显然成立． 7．C 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 又， 所以 8．C 如图，因为△ABC外接圆的圆心O满足， 所以点O为BC的中点，所以BC是△ABC外接圆的直径，故，∠BAC＝90°． 因为，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°． 在Rt△ABC中，， 所以在上的投影向量的模长为． 9．C 由，得， 又， 所以， 又，则，， 所以，即， 所以， 又， 所以， 综上，， 10．D 由题意可得：， 因为，则，即， 可得，且， 则，即反向， 可得. 11．A 在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，， 所以， 所以，则为等边三角形，因为， 所以，设