离散型随机变量及其分布列讲义-2024届高三数学一轮复习

离散型随机变量及其分布列 类型一 离散型随机变量及其分布列 1 (一)求随机变量的分布列与数学期望(巩固演练) 3 (二)求随机变量的分布列与数学期望(理解提升)(较难) 10 (三)求随机变量的分布列与数学期望(数列，函数的方法求解)(难) 17 类型二 二项分布与超几何分布 24 (一)二项分布 26 (二)超几何分布 27 类型三 正态分布 30 类型一 离散型随机变量及其分布列 【知识清单】 1．离散型随机变量及其分布列 （1）随机变量与离散型随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量. 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. （2）概率分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列,表如下： X … … P … … 其性质有： ①，； ②1. 2．离散型随机变量的期望与方差 （1）离散型随机变量的均值 ①定义：称E（X）＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. ③性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋b）＝. （2）离散型随机变量的方差 ①定义：我们称D（X）＝＝为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（－E（X））2关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. ③性质：D（）＝＝－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D（X）. （3）关于期望、方差的几个结论 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； ②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； ③若X1，X2相互独立，则（X1X2）＝（X1）·（X2）. (一)求随机变量的分布列与数学期望(巩固演练) 1．（2023·湖南·校联考二模）(易错)一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球3个，黄球2个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球． (1)求盒子中恰剩2个红球的概率； (2)停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X，求X的分布列与数学期望． 2.2023年6月7日,21世纪汽车博览会在上海举行,下表为某汽车模型公司的25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示: 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰,求、,并据此判断事件和事件是否独立; 该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:  ①拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色; ②按结果的可能性大小，概率越小奖项越高; ③奖金额为一 等奖600元，二等奖300元，三等奖150元， 请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望. 3．（2023·重庆·统考三模）(易错)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼．投壶的横截面是三个圆形，投掷者站在距离投壶一定距离的远处将箭羽投向三个圆形的壶口，若箭羽投进三个圆形壶口之一就算投中．为弘扬中华传统文化，某次文化活动进行了投壶比赛，比赛规定投进中间较大圆形壶口得分，投进左右两个小圆形壶口得分，没有投进壶口不得分．甲乙两人进行投壶比赛，比赛分为若干轮，每轮每人投一支箭羽，最后将各轮所得分数相加即为该人的比赛得分，比赛得分高的人获胜．已知甲每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为，投进入左右两个小壶口的概率都是，乙每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为，投进入左右两个小壶口的概率分别是和，甲乙两人每轮是否投中相互独立，且两人各轮之间是否投中也互相独立．若在最后一轮比赛前，甲的总分落后乙分，设甲最后一轮比赛的得分为，乙最后一轮比赛的得分为． (1)求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率； (2)求的数学期望． 4．（2022·重庆·统考三模）(易错)甲､乙两人进行射击比赛，一局比赛