排列组合与二项式定理讲义-2024届高三数学一轮复习

排列组合与二项式定理 类型一 计数原理 1 (一)常见的排列组合方法(捆绑，插空，定序，排除，先分组再排序) 2 (二)方程组的整数解个数，间隔，路线，倍数，几何图形以及染色问题(较难) 8 (三)其他较新颖的题目(难) 18 类型二 二项式定理 23 (一)多项式展开中的系数与二项式系数 24 (二)三项的二项式展开，组合数的性质，二项式展开的应用，杨辉三角(较难) 28 类型一 计数原理 【知识清单】 1．两个计数原理 （1）分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． （2）分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 2．排列组合 （1）排列及排列数的定义 一般地，从n个不同元素中取出m（）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示． （2） 组合及组合数的定义 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 3．排列数公式 （1）乘积形式：…．（这里且） （2）阶乘形式：．（，且） （3）性质：！，规定1，1． 4．组合数公式 （1）乘积形式：（，且） （2）阶乘形式：（，且） （3）性质：，，规定：（，且） (一)常见的排列组合方法(捆绑，插空，定序，排除，先分组再排序) 1（2023·高二课时练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，3名男生互不相邻； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后二排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人． 2．(多选)（2022上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ） A．共有18种安排方法 B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法 C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法 D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法 3．(易错)（2014·云南红河·统考一模）某班有名学生，其中正、副班长各人，现要选派人参加一项社区活动，要求正、副班长至少人参加，问共有多少种选派方法？下列算式中错误的是（　　） A． B． C． D． 4．(易错)（2021·高二课时练习）已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止． （1）若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？ （2）若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？ 5．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 6．（2023·全国·高三专题练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ） A．120 B．60 C．40 D．30 7.（2023·湖南模拟）六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有 种排法． 8．(易错)（2017下·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是 . 9．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 10.某高校为做好知识前沿传授工作,邀请6名教授去会计专业4个班级授课,则每个班均能获得教授授课的概率为 A. B. C. D. 11．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）某国家级示范高职院校为做好春季高考招生工作，