随机抽样与成对数据统计的相关性讲义-2024届高三数学一轮复习

随机抽样与成对数据统计的相关性 类型一 统计中的随机抽样与数字的数据特征 1 (一)简单随机抽样 3 (二)统计中的数字特征(平均数，众数，极差，百分位数，方差) 4 类型二 统计中的成对数据统计的相关性 9 (一)线性相关系数与回归方程 12 (二)独立性检验 17 类型一 统计中的随机抽样与数字的数据特征 【知识清单】 1．简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本，除非特殊声明，我们所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法． 适用范围：当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法． 2．分层随机抽样 （1）定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. （2）适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差异较小. 4.思考 对一个容量为N的总体，抽取一个容量为n的样本，当采用逐个不放回随机抽样、一次性批量随机抽样、分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，请证明==. 5.平均数 （1）平均数：如果个数那么叫做这个数的平均数. 如果个数的平均值为，则这个数的和为. （2）加权平均数：如果个变量出现的频数分别为，则平均数还可以写成加权平均数的形式：，各变量值出现的频数叫权数.也可以用变量值的频率来表示加权平均数：. （3）分层随机抽样的平均数：在分层随机抽样中，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数=． （4）常用结论：若的平均数为，则的平均数为. 6.极差、中位数、众数 （1）极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．不难看出， 极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度． （2）众数：一组数据中重复出现次数最多的数据. （3）中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均值）的数叫做这组数据的中位数. 7.方差、标准差 方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小，样本的标准差是方差的算术平方根．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.一般地，设样本的元素为样本的平均数为. （1）方差：== （2）标准差：= （3）分层随机抽样的方差：设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为． （4）常用结论：若的标准差为，方差，为那么的标准差为，方差为. (一)简单随机抽样 1．（2023·全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 2．(易错)某校要从高一、高二、高三共2 019名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 019名学生中剔除19名，再从剩下的2 000名学生中按分层抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（    ） A．都相等且为 B．都相等且为 C．不完全相等 D．均不相等 3．（多选）（2022·湖北模拟（2019人教A版必修二阅读与思考改编））某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道