2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.求证：AE与⊙O相切. 2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB. 求证：直线CE是⊙O的切线； 3．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，MN过C点，AD⊥MN于D，AC平分∠DAB．求证：MN为⊙O的切线． 4．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线． ​ 5．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= .求证：CB是⊙O的切线. 6．如图，Rt△ABC中∠C=90°，点O是AB边上一点，以OA为半径作⊙O，与边AC交于点D，连接BD，若∠DBC=∠A，求证：BD是⊙O的切线． 7．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线： （2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r． 8．如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC， AD平分∠EAC (1)求证：BC是圆O的切线。 (2)若BE=8，BD=12，求圆O的半径， 9．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线． 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF． 11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=1，OA=2，求AC的值． 12．如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E. （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长. 13．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积． 14．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC，以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所在直线于点D、P，使∠1＝∠2＝∠A． （1）求证：直线PC是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求线段BP的长． 16．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长． 17．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为D，过点B作直线BE∥DC，交AC的延长线于点E． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若AB=5，AC=3，求BD的长． 18．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）． 19．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若BC=3，AB=5，求AC的值； （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 答案 1．证明：如图：连接OA，交BC于F， ∵OA＝OB， ∴∠D＝∠DAO， ∵∠D＝∠C， ∴∠C＝∠DAO， ∵∠BAE＝∠C， ∴∠BAE＝∠DAO ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， 即∠DAO+∠BAO＝90°， ∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°， ∴AE⊥OA， ∴AE与⊙O相切于点A. 2．证明：连接OC. ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAD=∠CAB， ∴∠DAC=∠ACO， ∴AD//OC， ∵AD⊥DE， ∴OC⊥DE， ∴直线