2024年中考数学专项复习题——二次函数中的相似三角形问题

2024年中考数学专项复习题—— 二次函数中的相似三角形问题 1．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)若P为抛物线的顶点，动点Q在y轴右侧的抛物线上，是否存在点Q使∠QCO=∠PBC?若存在，请求出点Q的坐标.若不存在，请说明理由. 2．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．直线l为抛物线的对称轴，且直线l交x轴于点D，抛物线的顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接BP，在直线l上是否存在点Q，使得△ODQ与△BDP相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积： (3)作轴，垂足为，设是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为，若以，，三点组成的三角形与相似，请直接写出点的坐标． 4．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F． (1)求抛物线的函数关系式； (2)连结，求的值； (3)若点线段上，与相似，请直接写出点的坐标． 5．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q． （1）求点B和点C的坐标； （2）设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x取值范围． （3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 6．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点（P不与点A，B，C重合），过点P作PM⊥x轴，垂足为M是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点A的坐标_______，及直线BC的函数关系表达式_______； （2）在抛物线上是否存在点M（点M与C不重合），使△MAB的面积与△CAB的面积相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于E，与y轴交于点F，点P的横坐标为m，当CE平分∠OCB时，求出点F的坐标． 8．定义：正实数a、b、c满足其中一个数的平方等于另外两个数的乘积，则称实数a、b、c为比例实数组． （1）若a＝4，b＝9，且实数a、b、c为比例实数组．求c的值； （2）四边形ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＞AD，AB⊥AC，BD平分∠ABC，求证：△ABC的三边长是比例实数组； （3）已知抛物线y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）与直线y＝x相交于点为A、B，且A、B两点关于直线y＝﹣cx+a﹣1对称，当b最大时，实数a、b、c是否为比例实数组，请说明理由． 9．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A、B的坐标为、，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿向终点A运动，点N沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，已知动点运动了x秒． (1)用含x的代数式表示P的坐标． (2)设四边形的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值． (3)是否存在x的值，使以 P 、A 、M 为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 10．已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线（a，c为常数，且）与x轴交于、两点，且与y轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在x轴上且位于点的左侧，连接，若以，，C为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 12．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、