考点02 整式与因式分解（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）

考点02. 整式与因式分解（精讲） 【命题趋势】 整式与因式分解在各地中考数学中难度中下，每年考查3题左右，分值为12分左右，主要考查整式的加减、乘除法则及幂的运算，难度一般不大，偶尔考察整式的基本概念。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，难度不大。对于整式与因式分解的复习，需要学生熟练掌握相关概念及运算法则等， 探究与表达规律、乘法公式的相关运用偶尔考查难度相对较大，望同学们多加注意！ 【知识清单】 1：代数式的相关概念（☆☆） （1）代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 代数式 。 （2）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。 2：整式的相关概念（☆☆☆） （1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做 单项式 ，所有字母指数的和叫做单项式的 次数 ，数字因数叫做单项式的 系数 。 （2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做 多项式 ，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的 次数 ，其中不含字母的项叫做 常数项 。 （3）整式：单项式和多项式统称为 整式 。 3：整式的运算（☆☆☆） （1）同类项：多项式中所含 字母 相同并且相同字母的 指数 也相同的项，叫做 同类项 。 （2）整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （3）幂的运算：am·an= am+n ；（am）n= amn ；（ab）n= anbn ；am÷an= 。 （4）整式的乘法：1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）= ma+mb+mc 。 3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）= ma+mb+na+nb 。 （5）乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。 （6）整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 （7）整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面。 （8）探究与表达规律常见类型： 1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。 5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 4：因式分解（☆☆☆） （1）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫因式分解 ，因式分解与整式乘法是互逆 运算. （2）因式分解的基本方法：1）提取公因式法：； 2）运用公式法：平方差与完全平方公式；3）十字相乘：；4）分组分解。 （3）分解因式的一般步骤：“一 提 二 套 三 检查 ”。 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 【易错点归纳】 1.规范书写格式：列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． 2.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9。 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式。 4.因式分解分解对象是多项式，分解结果必是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可。 【核心考点】 核心考点1. 代数式的相关概念 例1：（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 变式1.（2023·河北石家庄·统考三模）某校举办的知识竞赛，共道题，规定答对一道题加x分，答错一道题（不答按错）扣分，小明答错了2