精品解析：上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

2022年上海市桃浦中学高二12月月考测试卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、填空题（共54分，第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 若，则_______ 2. 不等式的解集是_______. 3. 复数的虚部为__________． 4. 已知复数（i为虚数单位），则的实部为____． 5. 若圆锥侧面展开图是半径为1，圆心角为的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于______. 6. 已知函数，则的值为_________ 7. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________ 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过__________分钟． 9. 已知无穷等比数列和满足，，的各项和为9，则数列的各项和为_________． 10. 对于实数和正数，称满足不等式实数的集合叫做的邻域，已知为给定的正数，、为正数，若的领域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________ 11. 若向量、夹角为，且，则的最大值为___________. 12. 给出下列命题：①已知非空集合满足，且中至少有一个奇数，这样的集合有6个；②已知函数的定义域为，则实数的取值范围是；③函数（且）图象恒过定点；④已知函数对任意实数都有，则.其中正确的命题序号是_________.（写出所有命题的序号） 二、单选题（共18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 设、是两个集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 中，，，若，则角为（ ） A B. C. D. 16. 已知若恰有两个不等实根，则的取值组成的集合为（ ） A B. C. D. 三、解答题（共78分） 17. 如图，三棱锥中，，，. （1）若平面平面.求证：； （2）若，求与平面所成的角. 18. 已知函数和锐角三角形. （1）若为奇函数，求角的大小； （2）在（1）的前提下，求的取值范围. 19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，为铅垂线（在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为，右侧山体曲线BO的方程为，其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，其中C在线段上，E在线段上，且m，． （1）求CE的长； （2）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当最大时，求CP的长．（结果精确到0.1m，参考数据：） 20. 已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线的方程； （2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围； （3）设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值. 21. 给出下列两个定义： I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”. II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质： ①；②，其中为两个新的函数，是的导函数. 我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”. （1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”； （2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论； （3）已知函数. ①若的“自导函数”是，试求的取值范围； ②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022年上海市桃浦中学高二12月月考测试卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、填空题（共54分，第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 若，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的概念及运算得到结果. 【详解】∵， ∴， 故答案为 【点睛】本题考查并集的概念及运算，属于基础题. 2. 不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】且，然后解一元二次不等式可得解集． 【详解】解：， ∴且， 或， 不等式的解集为， 故答案为：． 【