专题02 正方形中十字架模型-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题02 正方形中十字架模型 十字架模型 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。 【典例1】问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE 　　BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处． ①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由； ②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为 　　． 【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 【变式1-2】如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 【变式1-3】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，可以裁出一个最大正方形的边长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A．2.5 B．2 C． D． 4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论： （1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF，②BO＝OE，③AE⊥BF，④∠ABO＝∠FAO，⑤S四边形DEOF＝S△AOB中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，正方形ABCD，点E，F在对角线AC上，连接BE、DF，满足BE∥DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，若DG＝4，EG＝3，则AD＝　． 7．已知正方形ABCD的边长为4，CE＝DF＝3，DE和AF相交于点G，连接BG，点H是线段AE的中点，连接HG，若∠HGB＝∠DAF，则GB＝　　． 8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　　． 10．如图，四边形ABCD是正方形，点E、N分别在DC、BC上，点F在CB的延长线上．△ADE≌△DCN，将△ADE顺时针旋转n度后，恰好与△ABF重合． （1）请写出n的值； （2）连结EF，试求出∠AFE的度数； （3）猜想线段AE和DN的数量关系和位置关系，并说明理由． 11．【探索发现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形A1B1C1O绕点O怎么转动，总有△AEO≌△BFO，连接EF，求证：AE2+CF2＝EF2； 【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，CO与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立