【杨仲鉴编写】2023-2024学年九年级下册数学 利用相似和圆的知识解答有关最大角问题的培优题

1 利用相似和圆的知识解答有关最大角问题的培优题(答案) 杨仲鉴编写 1. 如图，半圆 O的直径 AB=24，异于 A的动点 C在半圆 O上，连接 BC，D是 BC的中点，弦 AE经过 D点，连 接 BE，则 BE长的最大值为 。 (备用) 2 2. 如图，平面直角坐标系中，A(-6，0)，以 B(0，3)为圆心、BO长为半径作⊙B，动点 N在⊙B上，射线 AN交 y 轴于M，则△AOM面积的最大值为 。 (备用) 3 3. 如图，△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，AC=2，E是 AC的中点，动点 F在 AB边上，连接 FC、FE，当∠CFE 最大时，AF的长为 。 (备用) 1 利用相似和圆的知识解答有关最大角问题的培优题(答案) 杨仲鉴编写 1. 如图，半圆 O的直径 AB=24，异于 A的动点 C在半圆 O上，连接 BC，D是 BC的中点，弦 AE经过 D点，连 接 BE，则 BE长的最大值为 8 。 图 1 图 2 如图 1， ∵点 E在以 AB为直径的半圆 O上， ∴∠E=90º。 ∴∠1是锐角。 ∵AB=24， ∴当∠1最大时，BE的长最大。 连接 OD，以 OB为直径作半圆 F。 ∵D是弦 BC(非直径)的中点， ∴OD⊥BC。 ∴∠2=90º。 ∴动点 D在半圆 F上。 如图 2，当 AE切半圆 F于 D时， ∴∠1最大，BE的长最大。 连接 DF，则 FD⊥AE。 ∴∠2=90º。 ∴∠2=∠E。 又∵∠1是公共角， ∴ Rt△ADF∽Rt△AEB。 ∴FD：BE=AF：AB。 ∵OB=12， ∴FD= 2 1 OB=6。 ∴6：BE=18：24=3：4。 ∴BE=8。 ∴BE长的最大值为 8。 2 2. 如图，平面直角坐标系中，A(-6，0)，以 B(0，3)为圆心、BO长为半径作⊙B，动点 N在⊙B上，射线 AN交 y 轴于M，则△AOM面积的最大值为 24 。 图 1 图 2 如图 1，∵A(-6，0)， ∴OA=6。 ∵∠1=90º， ∴∠2是锐角。 ∴当∠2最大时，MO 的长最大。 如图 2，当 AM切圆 B于 N时， ∠2最大，MO 的长最大，△AOM的面积最大。 又∵AO切⊙B于 O， ∴AN=AO=6。 连接 BN，则 BN⊥AM。 ∵B(0，3)，∴OB=3。 ∴BN=BO=3。 ∵∠3=90º=∠1，∠4是公共角， ∴Rt△MNB∽Rt△MOA。 ∴MN：MO=MB：MA=BN：AO=3：6。 ∴MO=2MN，MA=2MB。 设MN=x，则MO=2x。 ∴MB=2x-3。 根据MA=2MB列方程: 6+x=2(2x-3)。 解之得：x=4。 ∴MO=2x=8 (最大)。 ∴△AOM面积的最大值= 2 1 ×6×8=24。 或：…，根据MN2+NB2=BM2 列方程：x2+32=(2x-3)2。 整理得：3x2-12x=0。 ∵x ≠ 0，∴x=4。…。 3 3. 如图，△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，AC=2，E是 AC的中点，动点 F在 AB边上，连接 FC、FE，当∠CFE 最大时，AF的长为 2 。 图 1 图 2 如图 1，经过 C、E两点作⊙O， 使⊙O与 AB相切。 设切点为 G。 连接 GC、GE，则∠CGE最大。 证明如下： 如图 1，当动点 F不是切点时，点 F在⊙O外。 设 CF与⊙O的交点为 P。 连接 EP，则∠1＜∠2，∠2=∠3。 ∴∠1＜∠3。 ∴∠3最大。 ∴如图 2，当动点 F是⊙O与 AB的切点时， ∠CFE最大。 下面求 AF的长。 作直径 FG，连接 EG， 则∠G=∠ECF，∠2=90º。 ∴∠G+∠EFG=90º。 ∵⊙O切 AB于 F， ∴∠1+∠EFG=90º。 ∴∠1=∠G。 ∴∠1=∠ECF。 又∵∠A是公共角， ∴△AEF∽△AFC。 ∴AE：AF=AF：AC。 ∴AF 2=AE • AC。 ∵AC=2，E是 AC的中点， ∴AE=1。 ∴AF 2=2。 ∴AF= 2。