5.3.3导数在研究函数中的应用（最大值与最小值）小练习（2）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.3.3最大值与最小值小练习(2) 一、单项选择题 1. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为(　　) A. B. C. D. 2. 一个窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　) A. B. C. D. 3. 在半径为的球内放置一个圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 4. 某个体户积极响应国家地摊经济的号召，计划在市政府规划的摊位同时销售 ，两种小商品．当投资，小商品均为()千元时，可获得的收益分 别为千元与千元，其中，，若该个体户共投 入千元，为使总收益最大，则商品需投入(　　) A. 千元 B. 千元 C. 千元 D. 千元 二、多项选择题 5. 用长为m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为m，则下列说法中正确的是(　　) A. 长方体的体积m3 B. 长方体的最大体积为m3 C. 当长方体的体积最大时，长为m D. 当长方体的体积最大时，高为m 6. 如图是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的 半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的空间图形内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面， 且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为(　　) A. B. C. D. 三、填空题 7. 若一个物体的运动方程如下：，则此物体在 的瞬时速度是________． 8. 已知某生产厂家的年利润(单位：万元)与年产量(单位：万件)的函数关系 式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为____万件． 四、解答题 9. 某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比．已知当速度为10 km/h时，燃料费为10元/时，其他与速度无关的费用每小时180元．(1) 求轮船的速度为多少时，每千米航程成本最低？(2) 若轮船的速度不超过20 km/h，求每千米航程的最低成本． 10. 如图，有一个长方形地块，边为2 km，该地块的一角是湿地(图中 阴影部分)，其边缘线是抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在边，上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点到边的距离为(单位：km)，的面积为(单位：km2)．(1) 求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2) 求按上述要求隔离出的面积的最大值． 参考答案 一、单项选择题 1. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为(　　) A. B. C. D. 【解析】设圆锥的高为()，则圆锥底面半径，所以圆锥的体积，所以.令，得，所以当时，；当时，，所以当时，取最大值，即体积最大时，圆锥的高为. 故选A. 2. 一个窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　) A. B. C. D. 【解析】设窗户面积为，周长为，圆的半径为，矩形高为，则，所以，所以窗户的周长，所以，由，得，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增，所以当时，取最小值．故选C. 3. 在半径为的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 【解析】设圆柱底面圆半径为，高为，如图，则，，，故，则，圆柱体积为.设，则，所以，故，当时，，当时，，当时，，所以当时，圆柱体积取得最大值，此时. 故选A. 4. 某个体户积极响应国家地摊经济的号召，计划在市政府规划的摊位同时销售，两种小商品．当投资，小商品均为()千元时，可获得的收益分别为千元与千元，其中，，若该个体户共投入千元，为使总收益最大，则商品需投入(　　) A. 千元 B. 千元 C. 千元 D. 千元 【解析】设商品的投入资金为千元()，则商品的投入资金为千元，记获得的总收益为千元，由题意可得 ()，故，当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值为，所以当商品的投入资金为2千元，商品的投入资金为3千元时，总收益最大．故选B. 二、多项选择题 5. 用长为m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为m，则下列说法中正确的是(　　) A. 长方体的体积m3 B. 长方体的最大体积为m3 C. 当长方体的体积最大时，长为m D. 当长方体的体积最大时，高为m 【解析】因为长方体的宽为m，所以长为m，高为m，故长方体的体积为，故A错误；，令，解得或 (舍去)．当时，；当时，，所以在处取得极大