专题5.3.2 极大值与极小值（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题5.3.2 极大值与极小值（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求已知函数的极值】 2 【题型2 求已知函数的极值点】 4 【题型3 根据极值（点）求参数】 6 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 9 考点1 函数的极值 知识点1 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 求已知函数的极值】 【例1】（25-26高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【解答过程】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【答案】(1) (2)函数的增区间为，极小值为. 【解题思路】（1）对函数求导，然后求出切点处的导数和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，然后根据函数的单调性确定增区间和极小值. 【解答过程】（1）对函数求导得. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令，则，解得或. 当时，因为，所以或， 所以在单调递增； 当时，因为，所以，所以在单调递减； 所以函数的增区间为，极小值为. 【变式1-3】（25-26高三上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)的极小值为，无极大值 【解题思路】（1）求出、后可求切线方程； （2）求出函数的导数后讨论其符号可得函数的极值. 【解答过程】（1）当时，，，则， 则，， 故所求切线方程为，即. （2）当时，，，则， 令，得，故在区间上单调递增； 令，得，故在区间上单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 【题型2 求已知函数的极值点】 【例2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【解答过程】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【解答过程】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解题思路】求出函数导数，讨论a的正负，判断函数的单调性，即可得到答案. 【解答过程】由于，故， 当时，，则时，， 时，， 故在上都单调递增，在在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极小值点， 同理判断当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故的极值点的个数为2， 故选：B. 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【解答过程】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【解答过程】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时 时 ， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)1； (2). 【解题思路】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，     当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. 【变式3-3】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)单调递增区间是； (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导，构造函数并利用导数研究新函数的单调性与最值，研究导函数符号确定的单调区间； （2）（i）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围；（ii）将化为证，利用换元法将要证明的不等式进行转化，结合导数证明结论； 【解答过程】（1）（1）当时且，则. 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，即，则在上单调递增， 故的单调递增区间是，无单调递减区间. （2）（i）∵的定义域为，， 若有两个极值点，且， ∴的两个根为， 且， 则与有两个交点， 令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，， 且，所以， 要使与有两个交点，则，即， 所以的取值范围是.    （ii）证明：∴，∴.∴， 要证：，即证：， 只需证 . 令，. ∴在恒成立， ∴在为增函数，∴， ∴. 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【解答过程】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解题思路】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解答过程】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【解答过程】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 【答案】B 【解题思路】对A，D由导数与函数单调性的关系，即可判断的大小以及的单调性，对B，C由极值的定义即可判断. 【解答过程】由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数的极值点为，，故B正确； 对C，函数的极大值为，故C错误； 对D，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.2 极大值与极小值（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求已知函数的极值】 2 【题型2 求已知函数的极值点】 2 【题型3 根据极值（点）求参数】 3 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 4 考点1 函数的极值 知识点1 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【题型1 求已知函数的极值】 【例1】（25-26高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·河南商丘·开学考试）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的增区间和极小值. 【变式1-3】（25-26高三上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求的极值. 【题型2 求已知函数的极值点】 【例2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【变式3-3】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【题型4 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【变式4-1】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【变式4-2】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $