复习02 不等式性质与均值不等式（十一大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习02不等式性质与均值不等式 一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 二、基本不等式：（一正二定三相等） （1）基本不等式成立的条件：. （2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 利用基本不等式求最值问题： （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 考点01判断及证明不等式 【方法点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例1】设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【变式1-2】设，命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（多选）对于实数，，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若， 考点02利用不等式的性质求范围 【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【例3】（多选）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，，则的取值范围是 . 【变式2-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点03直接法求最值 【方法点拨】（1）如果积是定值P，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和是定值P，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 【例5】已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【例6】已知，且，则的最小值为 ． 【变式3-1】已知，则函数的最大值为 . 【变式3-2】已知，则的最大值为 ． 【变式3-3】若正实数满足，且恒成立，则的最大值为 ． 考点04配凑法求最值 【方法点拨】①添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式； ②形如的分式函数，通常将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 【例7】已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【例8】函数的最小值为 ． 【变式4-1】当时，的最小值为 ． 【变式4-2】已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】函数的最小值是，则当时，a的值为 ，当时，a的值为 考点05“1”的代换(一) 【方法点拨】出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【例9】已知正数 满足 ，则当 取得最小值时 (    ) A． B． C．5 D． 【例10】当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式5-1】已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式5-2】若正数a，b满足，则 的最小值为 ． 【变式5-3】已知，则的最小值为 . 考点06“1”的代换(二) 【方法点拨】需将已知条件通结合两个分母构造“1”的表达式 【例11】设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例12】若是正实数，且，则的最小值为 . 【变式6-1】已