课时作业34 空间直线、平面的垂直(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(三十四)　空间直线、平面的垂直 目标　直线、平面垂直的判定与性质 1．(2022·全国乙卷，理7，文9)在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　A　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 解析：选A.在正方体ABCD­A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1， 所以EF⊥平面BDD1， 又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 对于B选项：因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，由上述过程易知平面B1EF⊥平面A1BD不成立；对于C选项：由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C选项错误；对于D选项：连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面A1C1D与平面B1EF不平行，所以D选项错误． 2．(2021·浙江，6)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　A　) A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 解析：选A.连接AD1，易证M在AD1上，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D， ⇒AB⊥A1D，AB∩AD1＝A⇒⇒A1D⊥D1B，在正方形AA1D1D中， ⇒MN∥平面ABCD， 取AA1交点E，连接NE，易证EB＝ED1，ED＝EB，且N为BD1，B1D的交点，故NE⊥平面BDD1B1，MN与NE相交，故MN与BDD1B1不垂直，故选A. 3.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　B　) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析：选B. 取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE. 因为点N为正方形ABCD的中心， 所以点N在BD上，且为BD的中点． 因为△ECD是正三角形， 所以EF⊥CD. 因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD. 所以EF⊥FN. 不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝， 所以EN＝＝2. 因为EM＝MD，DG＝GF，所以MG∥EF， 所以MG⊥平面ABCD，所以MG⊥BG. 因为MG＝EF＝， BG＝＝ ＝， 所以BM＝＝.所以BM≠EN. 因为BM，EN是△DBE的中线， 所以BM，EN必相交． 故选B. 4．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__②③⇒①(或①③⇒②)__． 解析：②③⇒①.证明如下： 因为m∥α，所以根据线面平行的性质定理，知存在n⊂ α，使得m∥n. 又因为l⊥α，所以l⊥n，所以l⊥m. ①③⇒②.证明略． 5．(2021·新高考Ⅰ，20)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积． 解：(1)证明：因为在△ABD中，AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD， AO⊂平面ABD，AO⊥BD， 所以AO⊥平面BCD， 又因为CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD. (2)法一：由题意可得CD＝1，BD＝2，∠BDC＝60°， 在△BCD中，由余弦定理得BC＝. 所以CD2＋BC2＝BD2， 所以△BCD为直角三角形，且∠C＝90°， 以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作z轴垂直于平面BCD，建系如图 设E点纵坐标为m， 因为DE＝2EA，由相似可得E， 易得C(0，0，0)，B(0，，0)， 所以＝(0，－，0)，＝， 设平面BCE法向量n1＝(a，b，c)， 由n1·＝0，n1·＝0，得n1＝； 易得平面BCD法向量n2＝(0，0，1)， 所以cos 45°＝＝， 所以m＝，由相