课时作业30 数列求和与数列的综合应用(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(三十)　数列求和与数列的综合应用 目标1　求通项公式 1．(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}得通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. 解：(1)S1＝a1＝1，所以＝1， 所以是首项为1，公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)·＝，所以Sn＝an， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝(n≥2)； 累积法可得：an＝(n≥2)，又a1＝1满足该式， 所以{an}的通项公式为an＝. (2)证明：＋＋…＋ ＝2 ＝2 ＝2<2. 2．已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn). 又因为a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1， 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 目标2　数列的求和 3．(2021·浙江，10)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则(　A　) A．＜S100＜3 B．3＜S100＜4 C．4＜S100＜ D．＜S100＜5 解析：选A.由题an＋1＝⇒＝＋＝－， 所以＜⇒＜＋， 所以≤1＋＝，所以an≥， 所以an＋1＝≤＝an， 所以≤⇒an≤⇒S100≤1＋＋6＜1＋＋＝3， 显然S100＞a1＋a2＝. 综上＜S100＜3.故选A. 4．(2021·新高考Ⅱ，12)(多选)设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈，记ω＝a0＋a1＋…＋ak.则(　ACD　) A．ω＝ω B．ω＝ω＋1 C．ω＝ω D．ω＝n 解析：选ACD.对于A选项，ω＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1， 所以，ω＝a0＋a1＋…＋ak＝ω，A选项正确； 对于B选项，取n＝2，2n＋3＝7＝1·20＋1·21＋1·22，所以ω＝3， 而2＝0·20＋1·21， 则ω＝1，即ω≠ω＋1，B选项错误； 对于C选项，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3， 所以，ω＝2＋a0＋a1＋…＋ak， 4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2， 所以，ω＝2＋a0＋a1＋…＋ak，因此，ω＝ω，C选项正确； 对于D选项，2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，故ω＝n，D选项正确．故选ACD. 5．(2020·课标Ⅱ理，12)0－1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}(i＝1，2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1，2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝iai＋k(k＝1，2，…，m－1)是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0－1序列中，满足C(k)≤(k＝1，2，3，4)的序列是(　C　) A．11010… B．11011… C．10001… D．11001… 解析：选C.对于A，因为 C(1)＝＝， C(2)＝＝， 不满足C(k)≤，故A不正确； 对于B，因为 C(1)＝＝， 不满足C(k)≤，故B不正确； 对于C，因为 C(1)＝＝， C(2)＝＝0， C(3)＝＝0， C(4)＝＝， 满足C(k)≤，故C正确； 对于D，因为 C(1)＝＝， 不满足C(k)≤，故D不正确．综上所述，故选C. 6．(2021·新高考Ⅰ，16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，