课时作业29 等比数列(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(二十九)　等比数列 目标1　等比数列及其前n项和 1．(2022·全国乙卷，理8，文10)已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　D　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：选D.设等比数列{an}首项为a1，公比为q由题意，， 即， 即， 解得q＝，a1＝96，所以a6＝a1q5＝3.故选D. 2．(2020·课标Ⅱ文，6)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　B　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 解析：选B.法一：设等比数列{an}的公比为q，则由 解得 所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1， 所以＝＝2－21－n，故选B. 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B. 3．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　C　) A．16 B．8 C．4 D．2 解析：选C.由题意知解得所以a3＝a1q2＝4.故选C. 4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　D　) A．f B．f C．f D．f 解析：选D.由题意得，十三个单音的频率构成以第一个单音的频率f为首项，为公比的等比数列，所以第八个单音的频率为f·()7＝f，故选D. 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数． 解：(1)证明：设数列{an}的公差为d，所以， 即可解得，b1＝a1＝，所以原命题得证． (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. 6．(2020·新高考Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m ](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 解：(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.解得q＝(舍去)，q＝2. 由题设得a1＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n. 所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 7．(2020·课标Ⅲ文，17)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1. 由已知得解得a1＝1，q＝3. 所以{an}的通项公式为an＝3n－1. (2)由(1)知log3an＝n－1. 故Sn＝. 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0. 解得m＝－1(舍去)，m＝6. 8．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式， (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64， 解得m＝6. 综上，m＝6. 目标2　等比数列的性质及应用 9．(2021·全国甲理，7)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　B　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要