课时作业28 等差数列(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(二十八)　等差数列 目标1　等差数列及其前n项和 1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　A　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 解析：选A.设首项为a1，公差为d. 由S4＝0，a5＝5可得解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n. 故选A. 2．(2022·全国乙卷，文)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__2__． 解析：由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6， 即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2. 3．(2020·江苏，11)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是__4__． 解析：法一：当n＝1时，S1＝a1＋b1＝1①，当n≥2时，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n－1，则a2＋b2＝4②，a3＋b3＝8③，a4＋b4＝14④，②－①得d＋b1(q－1)＝3⑤，③－②得d＋b2(q－1)＝4⑥，④－③得d＋b3(q－1)＝6⑦，⑥－⑤得b1(q－1)2＝1，⑦－⑥得b2(q－1)2＝2，则q＝2，b1＝1，d＝2，所以d＋q＝4. 法二：由题意可得S1＝a1＋b1＝1，当n≥2时，an＋bn＝Sn－Sn－1＝2n－2＋2n－1，易知当n＝1时也成立，则a1＋(n－1)d＋b1qn－1＝dn＋a1－d＋b1qn－1＝2n－2＋2n－1对任意正整数n恒成立，则d＝2，q＝2，d＋q＝4. 法三：由等差数列和等比数列的前n项和的特征可得等差数列{an}的前n项和Hn＝n2－n，等比数列{b2}的前n项和Tn＝2n－1，则d＝2，q＝2，d＋q＝4. 4．(2020·课标Ⅱ文，14)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝__25__． 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 5．(2020·新高考Ⅰ，14)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__3n2－2n__． 解析：设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝＝＝＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝×n＝3n2－2n. 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝__0__，Sn的最小值为__－10__． 解析：因为a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10， 所以a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0， 所以an＝a1＋(n－1)d＝n－5. 令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．所以Sn的最小值为S4＝S5＝－10. 7．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝__100__． 解析：因为{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13， 所以公差d＝＝＝2， 首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1， 所以S10＝10a1＋d＝100. 8．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝__4__. 解析：由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1， 所以S10＝10a1＋d＝100a1， S5＝5a1＋d＝25a1，所以＝4. 9．(2022·全国甲卷，理)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：由于＋n＝2an＋1，变形为2Sn＝2nan＋n－n2，记为①式， 又当n≥2时，2Sn－1＝2(n－1)an－1＋n－1－(n－1)2，记为②式， ①－②可得(2n－2)an－(2n－2)an－1＝2n－2，n≥2，n∈N* 即an－an－1＝1，n≥2，n∈N*，所以{an}是公差为1的等差数列． (2)由题意可知a＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12，所以an＝－12＋(n－1)×1＝n－13，其中a1<a2<…<a12<0，a13＝0， 则