课时作业25 解三角形(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(二十五)　解三角形 目标1　余弦定理、正弦定理 1．(2020·课标卷Ⅲ理，7)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　A　) A． B． C． D． 解析：选A.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A. 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　A　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选A.因为a sin A－b sin B＝4c sin C， 所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，所以＝6. 故选A. 3．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　A　) A．4 B． C． D．2 解析：选A.因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cosC＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A. 4．(2021·全国乙文，15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝__2__． 解析：由S△ABC＝ac sin B，得＝ac sin 60°，即＝ac，得ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝12， 则由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos 60°＝12－2×4×＝8，所以b＝2. 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为____． 解析：由b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C得sin Bsin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，因为sin B sin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝＝＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bc sin A＝××＝. 6．(2022·全国乙卷，理)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin Bsin (C－A). (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． 解：已知sin C sin (A－B) ＝sin B sin (C－A)可化简为sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin Bsin Ccos A－sin B cos C sin A， 由正弦定理可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＝2bc cos A－ab cos C， 由余弦定理可得ac＝2bc－ab，即得2a2＝b2＋c2， (2)由(1)可知b2＋c2＝2a2＝50，cos A＝＝＝＝，所以2bc＝31， 因为b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝81，所以b＋c＝9， 所以a＋b＋c＝14，所以△ABC的周长为14. 7．(2020·北京，17)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a的值； (2)sin C和△ABC的面积． 条件①：c＝7，cos A＝－； 条件②：cos A＝，cos B＝. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 解：选① (1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，b＝11－a，c＝7， 得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×， 所以a＝8. (2)因为cos A＝－，A∈(0，π)，所以sin A＝. 由正弦定理＝， 得sin C＝＝＝， 由(1)知b＝11－a＝3， 所以S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6. 选② (1)因为cos A＝，所以A∈，sin A＝. 因为cos B＝，所以B∈，sin B＝. 由正弦定理＝，得＝，所以a＝6. (2)sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos A sin B＝. 因为a＋b＝11，a＝6，所以b＝5. 所以S△ABC＝ab sin C＝×6×5×＝. 8．(2020·天津，16)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝. (1)求角C的大小； (2)求sin A的值； (3)求sin 的值． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，有cos C＝＝.又因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c