课时作业24 平面向量的数量积及应用(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(二十四)　平面向量的数量积及应用 目标1　数量积的定义及夹角与模问题 1．(2023·新课标Ⅰ卷，5分)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　D　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：选D.因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 2．(2022·全国乙卷，理)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　C　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C.由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，有4a·b＝4，故a·b＝1，选择C. 3．(2020·课标Ⅲ文，5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　D　) A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 解析：选D.法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D. 法二：不妨设a＝，b＝(1，0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D. 法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示： 由图易知，只有选项D满足题意，故选D. 4．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　C　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C.因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1， 所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)， 所以·＝2×1＋3×0＝2.故选C. 5．(2021·全国甲文，13)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝__3__． 解析：因为|a－b|＝5，平方得a2－2a·b＋b2＝25⇒9－2＋b2＝25⇒b2＝18⇒|b|＝3. 6．(2021·全国乙理，14)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝____． 解析：由题设知a－λb＝(1－3λ，3－4λ)， 由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝15－25λ＝0，解得λ＝. 7．(2020·课标Ⅰ理，14)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝____． 解析：法一：因为a，b为单位向量，且|a＋b|＝1， 所以(a＋b)2＝1，所以1＋1＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，所以|a－b|＝. 法二：如图，设＝a，＝b，利用平行四边形法则得＝a＋b，因为|a|＝|b|＝|a＋b|＝1， 所以△OAC为正三角形， 所以||＝|a－b|＝2××|a|＝. 8．(2020·课标Ⅲ理，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝____. 解析：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝. 9．(2020·课标Ⅰ文，14)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，则m＝__5__． 解析：因为a⊥b，所以a·b＝m＋1－(2m－4)＝0，所以m＝5. 10．(2019·课标Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝____. 解析：由题意，得cos 〈a，c〉＝ ＝＝＝. 11．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝__－1__． 解析：因为AD∥BC，且∠DAB＝30°， 所以∠ABE＝30°. 又因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°. 所以∠E＝120°.所以在△AEB中，AE＝BE＝2. 所以·＝(＋)·(＋) ＝－2＋·＋·＋· ＝－12＋2×2×cos 30°＋5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°＝－12＋6＋15－10＝－1. 目标2　数量积的综合应用 1