课时作业19 三角恒等变换(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(十九)　三角恒等变换 目标　三角恒等变换 1．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则(　C　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 解析：选C.由已知得：sin α cos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β， 即：sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即：sin (α－β)＋cos (α－β)＝0， 所以tan (α－β)＝－1， 故选C. 2．(2021·全国乙文，6)cos2－cos2＝(　D　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意可知cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝.故选D. 3．若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　A　) A． B． C． D． 解析：选A.由tan 2α＝＝＝，化解得sin α＝，从而得tan α＝，故选A. 4．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　A　) A． B． C． D． 解析：选A.因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos2α－1)－8cosα＝5，所以6cos2α－8cosα－8＝0，所以3cos2α－4cosα－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－. 因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝.故选A. 5．(2021·北京，14)若点P(cosθ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值__＋kπ，k∈Z__． 解析：点P、Q都在单位圆上，θ可取－＝.. 6．已知sin2＝，则sin2α的值是____． 解析：因为sin2＝，所以＝，＝，得sin 2α＝. 7．已知tan θ＝2，则cos 2θ＝__－__，tan ＝____． 解析：法一：因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，由sin2θ＋cos2θ＝1可知，sin2θ＝，cos2θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－，tan (θ－)＝＝＝. 法二：因为tan θ＝2，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－，tan (θ－)＝＝＝. 8．函数f(x)＝sin22x的最小正周期是____． 解析：由降幂公式得f(x)＝sin22x＝＝－cos 4x＋，所以最小正周期T＝＝. 9．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝__－__． 解析：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以sin2α＋cos2β＋2sinαcos β＝1，① cos2α＋sin2β＋2cosαsin β＝0，② ①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcos β＋cos αsin β)＝1， 所以sin (α＋β)＝－. 10．已知α∈，tan α＝2，则cos ＝____． 解析：cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α). 又由α∈，tan α＝2，知sin α＝，cos α＝，所以cos ＝×＝. 11．已知＝－，则sin 的值是____． 解析：由＝ ＝＝－， 解得tan α＝2或－. sin ＝(sin 2α＋cos 2α) ＝(2sin αcos α＋2cos2α－1) ＝(sinαcos α＋cos2α)－ ＝·－ ＝·－， 将tanα＝2和－分别代入得sin ＝. 因为＝＝－， 所以sin αcos ＝－cos αsin .① 又sin ＝sin ＝sin cos α－cos sin α＝，② 由①②，解得sin αcos ＝－， cos αsin ＝. 所以sin ＝sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝. 12．(2023·合肥市模拟)已知cos cos ＝－，α∈. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－的值． 解　(1)cos cos ＝cos sin ＝sin ＝－， 即sin ＝－. ∵α∈，∴2α＋∈， ∴cos ＝－， ∴ sin 2α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝－×－×＝. (2)∵α∈，∴2α∈， 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－. ∴tan α－＝－＝＝ ＝－2×＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$