课时作业16 导数与函数的极值、最值(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时作业（十六） 导数与函数的极值、最值 目标利用导数研究函数的极值、最值 1.(2022全国甲卷，理6，文8)当x=1时，函数x)=anx十bx取得最大值-2，则f (2)=(B) A.-1 B.-12 C.12 D.1 解析：选Bf(x)=一bx2,由条件， 得f(1)=b=-2,(1)=a-b=0,) 所以a=b=-2,即fx)=-2x十2x2, 所以f2)=-22+222=-12, 故选B 2.(2021全国乙理，10)设a≠0，若x=a为函数fx)=a一a)2cx一b)的极大值点，则( D) A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2 解析：选D.当a>0,x)大致图象如图所示，易得b>a>0.当a<0,x)大致图象如图 所示，易得0>a>b综上所述，得ab>a2,故选D 3.(2022新高考1卷)（多选）已知函数x)=x3一x十1，则(AC) A.fx)有两个极值点 B.x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=x)的切线 解析：选AC”()=3x2一1.所以x)有两个极值点一3)3与3)3，又 as4acol(fr3)3)=1-39>0,所以f)只有一个零点：由fx)十(-x)=2可知，点(0， 1)是曲线y=fx)的对称中心：令fx)=32-1=2,可得x=±1，又1)=-1)=1，当切点 为(1,1)时，切线方程为y=2x一1，当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x十3，所以故选 AC 4.(2021新高考1,15)函数fx)=2x-1川-2nx的最小值为1· 解析：①x>12时x)=2x一1-2lnx, x)=2-2x=2(x-1)x, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当x>1时，fx)>0: 当12<x<1时，(<0， 故fxr)mim=f1)=1: ②0<x≤12时，fx)=1-2x-2lnx,f'(x)=-2-2x=-2(x+1)x<0, 此时fx)=1-2x-2nx为减函数，x)mm=favs4 alcol(f12)=2ln2>1.综上：fxim =1)=1 5.若函数fx)=23-2+1(a∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，则fx)在[-1,1] 上的最大值与最小值的和为一3· 解析：fx)=6c2-2r=2(3x-a)(a∈R),当a≤0时，P(x>0在(0，+∞)上恒成立， 则x)在(0，十∞)上单调递增，又0)=1，所以此时x)在(0，十∞)内无零点，不满足题意. 当a>0时，由f>0得xa3,由fx)0得0x<a3,则f)在laws4 alcol(0,fa3)上单调 递减，在lavs4 alcol(ffa:3),十o上单调逃增，又fx)在(0，十∞)内有且只有一个零点，所 以favs4 alcol(fia3)=-a327+1=0,得a=3,所以fx)=2x3-3ax2+1,则fx)=6x-1), 当x∈（一1,0）时，子(x>0,x)单调递增，当x∈(0,1)时，x)0,x)单调递减，则f (c)m=0)=1,尤一1)=-4,1)=0，则x)im=一4，所以x)在[-1,1]上的最大值与最 小值的和为一3 6.(2021全国乙理，20)设函数x)=n(a一x),已知x=0是函数y=x)的极值点. (1)求a (2)设函数g)=x十f(x)xf(x),证明：gx)<1 解：(1)由题意得x)的定义城为（一∞，a), 令mx)=xx),则mx)=xln(a-x),x∈(-oo,a, 则m'x)=n(a-x)+x一la一x=ln(a一x)+一xa一， 因为x=0是函数x)的极值，点， 所以m'(0)=0,即na=0,所以a=1: 当a=1时，m'(x)=n(1-x)+-x1一x=n(1-x)+-11-x+1,且m'(0)=0 因为m"x)=一11一x+-1(1-x)2=x-2(1-x）2<0, m()在（一，1）上单调递减， 所以当x∈(-∞，0)时，m'(x)>0, 当x∈(0,1)时，m'()<0, 所以a=1时，x=0是函数x)的一个极值点， (2)证明：由(1)可知=xn(1一x), 要证x十f()f(x)<1,即需证x十m(1一x)xm(1一x)<1, 因为当x(-∞，0)时，xh(1一x)<0, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当x∈(0,1)时，xn(1一x)<0: 所以需证x+n(1-x)>xn(I一x), 即x+(1-x)n(1-x)>0: 令)=x+(1