课时作业15 导数与函数的单调性(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时作业（十五） 导数与函数的单调性 目标利用导数研究函数的单调性 1.(2022新高考1卷)设a=01e0.1,b=19,c=一1n0.9,则(C) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 解析：选C.令a=xe,b=x1一x,c=-n(1-x), DIn a-In b=x+Inx-[Inx-In (1-x)]=x+In (1-x), 令y=x+ln(1-x),x∈(0,0.1]， y'=1-11-x=-x1-x<0, 所以y0,所以lna-lnb<0,所以b>a ②a-c=y=e+n(1-x,x∈(0,0.1]， y'=xe+e-l1-x=(1+x)(1-x)ex-11-x, 令x)=(1+x)(1-x)e1, 所以k9)=(1-x2-2x)e0, 所以x>O>0,所以y>0, 所以a一c>0,所以a>c综上可知：b>a>c 2.(2022全国甲卷，文)已知9m=10,a=10m-11,b=8-9,则(A) A.a-0>b B.ab>0 C.b-a-0 D.b>0>a 解析：选A由9m=10,可得m=l1og10∈(1,1.5). 根据a,b的形式构造函数x)=xm一x一1(>I),则fx)=mm-1-1, 令fx)=0,解得x0=m1-m, 由m=log10∈(1,1.5)知x∈(0,1) x)在(1，十∞)上单调递增， 所以10)>8)，即a>b, 又因为9)=91og10-10=0,所以a>0>b,故选A 3.(2021全国乙理，12)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,则(B) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 解析：选B.显然a>b, 令x)=2ln(1+x)-(1+红-1)r>0),则 (x)=21十x-2r1+4) 因为当0<x<2时，x2<2x, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以1+2x+x2<1+2x+2,即1+x<1+4r, 所以fx)>0,所以f0.01)>0),即a>c 同理，令gx)=n(1+2x)-(1+4红-1)c>0), 则g'x)=21+2x-2r1+, 因为当x>0时，(1+2x)2>1+4,所以g'x)<0,所以g0.01)<g(0)=0,即c>b, 综上a>c>b,故选B 4.(2023新课标1卷，12分)已知函数fx)=a(er十a)-x (I)讨论x的单调性； (2)证明：当a>0时，x)>2ha+32 解：(Ifx)=ae-1, 当a≤0时，fx)≤0， 所以函数x)在（一∞，十∞）上单调递减： 当a>0时，令fx0,得>-lna,令f9)0,得x<-na, 所以函数x)在（一∞，一na)上单调递减，在(-na,+oo)上单调递增 综上可得：当a≤0时，函数x)在（一∞，十）上单调递减： 当a>0时，函数x)在（一∞，一lna)上单调递减，在(-na,十∞）上单调递增， (2)法一（最值法）：由(I)得当>0时，函数x)=a(e'+a)-x的最小值为一na=a(e Imna+a)+Ina=1+a2+Ina, 令ga=1+a2+na-2hna-32=a2-lna-12,a∈(0，+eo), 所以g'(a=2a-1a,令g(a)>0,得a>2)2 令g'(a0,得0<a<2)2. 所以函数g(a)在laws4 alcol(0,r22)上单调递减，在alvs4 alcol(0r(2)2),+oo上 单调递增， 所以函数g(a)的最小值为gaws4alco1(fr(2)2》=ahvs4alco10r2)2》2-ln22-12 =ln2>0, 所以当a>0时，x)>2na+32成立. 法二（分析法）：当a>0时，由(I)得，fxmm=-lna)=1十a2+lna, 故欲证fx>2na+32成立， 只需证1+a2+lna>2lna+32,即证a2-12>lna, 构造函数u(a)=na一(a一1)(a>0), 则(a=1a-1=1-aa,所以当a>1时，u'(a-0;当0<a1时，'(a)>0 所以函数4(a)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减， 所以(a≤I)=0,即lna≤a-1, ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 故只需证a2-12>a-1,即证a2-a+12>0, 因为a2-a十12=avs4alco1(a-12)2+14>0恒成立， 所以当a>0时，x)>2na+32成立 5.(2022新高考川卷)已知函数x)=xe一e (1)当