课时作业14 导数的概念、运算(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(十四)　导数的概念、运算 目标　导数的概念及运算 1．(2021·新高考Ⅰ，7)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　D　) A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea 解析：选D.用取极限的方法快速得到答案，注意到x→－∞时切线为y＝0，x→＋∞时切线为y＝＋∞，因此切线的交点位于第一象限，且在曲线y＝ex的下方，故选D. 2．(2020·课标Ⅰ卷，6)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　B　) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：选B.法一：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，所以所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B. 法二：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C、D.又f(1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B. 3．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　D　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 解析：选D.因为y′＝aex＋ln x＋1， 所以k＝y′|x＝1＝ae＋1， 所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 因为已知切线方程为y＝2x＋b， 所以解得 故选D. 4．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　D　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 解析：选D.法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0.因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D. 法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D. 法三：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D. 5．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　C　) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C.2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 解析：选C.设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，所以f′(π)＝－2，所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C. 6．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__(－∞，－4)∪(0，＋∞)__． 解析：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a) )，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1) ，可得切线方程为y－(x0＋a) ＝(x0＋a＋1) (x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a) ＝－x0(x0＋a＋1) ，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. 7．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为__y＝x__，__y＝－x__． 解析： 因为y＝ln |x|，当x>0时y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，所以＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x； 当x<0时y＝ln (－x)，设切点为，由y′＝，所以＝，所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1)， 又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x