课时作业13 函数模型及其应用(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(十三)　函数模型及其应用 目标　函数模型及其应用问题 1．(2020·课标卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic 模型 ：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3) (　C　) A．60 B．63 C．66 D．69 2．(2020·新高考Ⅰ，6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　B　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 解析：选B.因为R0＝1＋rT，所以3.28＝1＋6r，所以r＝0.38. 若则e0.38(t2－t1)＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8.故选B. 3．(2020·北京，10)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　A　) A．3n B．6n C．3n D．6n 解析：选A.连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为＝，底角均为＝90°－，所以等腰三角形的底边长均为2cos ＝2sin ，故单位圆的内接正6n边形的周长为6n×2sin ；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为＝，顶角的一半均为，所以等腰三角形的底边长均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2tan .因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以2π≈＝6n×sin ＋6n×tan ，所以π≈3n×sin ＋3n×tan ＝3n，故选A. 4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　A　) A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1 解析：选A.设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2，由条件m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1＝lg ，得lg ＝－1.45＋26.7＝25.25. 所以lg ＝25.25×＝10.1，所以＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1. 故选A. 5．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： ＋＝(R＋r). 设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　D　) A. R B. R C. R D. R 解析：选D.由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)，整理得＝. 又因为≈3α3，所以3α3≈，所以α≈ ， 所以r＝αR≈ R.故选D. 6．(2023·新课标Ⅰ卷，5分)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际