课时作业12 函数的零点与方程的解、二分法(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(十二)　 函数的零点与方程的解、二分法 目标　函数的零点问题 1．函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间为(　B　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析；选B.当－1<x<0时，f(x)<0； 当x>0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－>0， 所以f(x)在(1，2)上有零点．故选B. 2．已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　C　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.当x>1时，令f(x)＝ln (x－1)＝0，得x＝2； 当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1. 综上，f(x)的零点个数为2.故选C. 3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　D　) A． B． C．∪{1} D．∪{1} 解析：选D. 如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象． (1)先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图象只有一个交点的情况． 当直线y＝－x＋a过点B(1，2)时，2＝－＋a， 解得a＝.所以0≤a≤. (2)再研究当x>1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况： ①相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为，则a＝1. ②相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点．过点A(1，1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥. 结合图象可得，所求实数a的取值范围为∪{1}． 故选D. 4．设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　C　) A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0 C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0 解析：选C.由题意，b＝f(x)－ax＝ 设y＝b，g(x)＝ 即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a<－1时，1－a>0， 可知g(x)在(－∞，0)上递增； 由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋1<0， 可知g(x)在(0，＋∞)上递增． 此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故A，B排除． ②当a>－1，即a＋1>0时， 因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，所以当x≥0时， 由g′(x)<0可得0<x<a＋1， 所以当x≥0时，g(x)在(0，a＋1)上递减，g(x)在(a＋1，＋∞)上递增． 如图，y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点． 当1－a>0，即－1<a<1时，由图象可得，若要y＝g(x)与y＝b的图象有3个交点，必有b<0； 当1－a＝0时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去； 当1－a<0，即a>1时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在有3个交点的情况，不合题意，舍去． 综上，－1<a<1，b<0.故选C. 5．已知函数f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若k＝0，则f(x)有两个零点； ②∃k<0，使得f(x)有一个零点； ③∃k<0，使得f(x)有三个零点； ④∃k>0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论得序号是__①②④__． 解析：零点问题，转化成两个函数的交点来分析． 令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的交点问题． 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两个交点，①正确； 对于②，存在k<0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误； 对于④，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$