课时作业8 幂函数与二次函数(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(八)　幂函数与二次函数 目标1　幂函数的图象与性质 1.已知幂函数y＝y(p，q∈N*，q>1且p，q互质)的图象如图所示，则(　D　) A．p，q均为奇数，且>1 B．q为偶数，p为奇数，且>1 C．q为奇数，p为偶数，且>1 D．q为奇数，p为偶数，且0<<1 解析：选D，由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数，因为图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0<<1.故选D. 2.如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分；①②③④⑤⑥⑦⑧。若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是(　B　) A．y＝x2　　　　　 B．y＝ C．y＝x D．y＝x－2 解析：选B.由图象知，幂函数f(x)的性质为： (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). (2)当0<x<1时，f(x)>1，且f(x)<； 当x>1时，0<f(x)<1，且f(x)>； 所以f(x)可能是y＝.故选B. 3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　D　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 解析，选D.因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝；因为y＝是减函数，所以a＝<c＝，所以b<a<c.故选D. 4．(多选)已知函数f(x)＝xa的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　ACD　) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若x>1，则f(x)>1 D．若0<x1<x2，则<f 解析：选ACD.将点(4，2)代入函数f(x)＝xα得：2＝4α，则α＝.所以f(x)＝x，显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确；f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确．当x>1时，>1，即f(x)>1，所以C正确；当0<x1<x2时，－＝－＝－＝＝－<0，即<f成立，所以D正确．故选ACD. 5．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于____． 解析：设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－. 因此f(x)＝x，从而a＝4(a＋3) ， 解得a＝. 目标2　二次函数 6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字；已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　ABD　) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与x轴交于点(0，3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3，0) 解析：选ABD.易知二次函数与x轴两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段长为2，A正确； 将0代入二次函数得y＝3，故B正确； 因为图象过点(1，0)且关于直线x＝2对称，另一个对称点为(3，0)，故D正确．故选ABD. 7．(2023·新课标Ⅰ卷，5分)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　D　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 解析：选D.通解(复合函数法)：由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D. 光速解(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D. 8．已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数a的最大值是____． 解析：由题意，得f(t＋2)－f(t) ＝a(t＋2)3－(t＋2)－(at3－t) ＝a[(t＋2)3－t3]－2 ＝a(t＋2－t)[(t＋2)2＋(t＋2)·t＋t2]－2 ＝2a(3t2＋6t＋4)－2 ＝2a[3(t＋1)2＋1]－2. 由|f(t＋2)－f(t)|≤， 得|2a[3(t＋1)2＋1]－2|≤， 即－≤2a[3(t＋1)2＋1]－2≤， ≤a[3(t＋1)2＋1]≤， 所以 ·≤a≤·. 设g(t)＝·， 则当t＝－1时，g(t)max＝. 所以当t＝－1时，a取得最大值，满足题意． 9．(2018·天津理，14)已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是__(4，8)__． 解析：当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示， g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f