课时作业6 函数的单调性与最值(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(六)　函数的单调性与最值 目标1　函数的单调性(区间) 1．下列函数中是增函数的为(　D　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：选D.AB递减，排除，C有增有减，排除，因此只有D正确． 2．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　A　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 解析：选A.由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 对于选项A，y＝在(0，＋∞)内是减函数，y＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函数．故选A. 3．设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　D　) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 解析：选D.由得函数f(x)的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln |2(－x)＋1|－ln |2(－x)－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、C；当x∈时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B；当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)＝ln ＝ln ，易知函数f(x)单调递减，故选D. 4．(多选)关于函数f(x)＝的结论正确的是(　CD　) A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2] D．单调增区间是[－1，1] 解析：选CD.f(x)＝的定义域满足：－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，即定义域为[－1，3].考虑函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在－1≤x≤3上有最大值4，最小值0，在[－1，1]上单调递增，在(1，3]上单调递减．故f(x)＝的值域为[0，2]，在[－1，1]上单调递增，在(1，3]上单调递减．故选CD. 5．函数f(x)＝的单调增区间为__(－∞，－1)__． 解析：函数f(x)由y＝，t＝x2－2x－3复合而成，t＝x2－2x－3>0⇒x>3或x<－1， 又y＝单调递减，则t＝x2－2x－3的减区间(－∞，－1) 即为函数f(x)＝的增区间， 所以f(x)＝的增区间为(－∞，－1). 目标2　函数的最值(值域) 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数． 例如：[－2，1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　C　) A． B．(0，2] C．{0，1，2} D．{0，1，2，3} 解析：选C.f(x)＝＝＝＋，因为2x＋1>0，所以0<<1，所以<＋<3，即<f(x)<3，所以y＝[f(x)]的值域为{0，1，2}．故选C. 7．函数y＝x＋的最大值为____． 解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cos θ，θ∈[0，π]， 则y＝cos θ＋sin θ＝sin ，θ∈[0，π]， 所以－1≤y≤，故原函数的最大值为. 8．(2023·河北石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__． 解析：在同一坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图中实线所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值是h(2)＝1. 目标3　函数单调性的应用 9．(2023·山东聊城三模)已知函数f(x)＝若f(a2－3)≥f(－2a)，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，1] B．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C．(－∞，1)∪[3，＋∞) D．[－3，1] 解析：选D.当x≤0时，f(x)＝3e－x单调递减； 当x>0时，f(x)＝－4x＋3单调递减． 又3e0＝－4×0＋3，则函数y＝f(x)在R上连续， 则函数y＝f(x)在R上单调递减． 由f(a2－3)≥f(－2a)，可得a2－3≤－2a， 即a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1. 因此，实数a的取值范围是[－3，1]. 故选D. 10．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是__[1，＋∞)__．