课时作业3 性质与基本不等式(课时作业)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

课时作业(三)　性质与基本不等式 目标1　不等式的概念和性质 1．(2022·全国甲卷，理)已知a＝，b＝cos ，c＝sin ，则(　A　) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 解析：选A.构造函数h(x)＝1－x2－cos x，x∈，则g(x)＝h′(x)＝－x＋sin x，g′(x)＝－1＋cos x≤0， 所以g(x)≤g(0)＝0，因此，h(x)在上递减，所以h＝a－b<h(0)＝0，即a<b. 另一方面，＝＝， 显然x∈时，tan x>x， 所以＝＝>1，即b<c. 因此c>b>a.即选A. 2．(2020·新高考Ⅰ)(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　ABD　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 解析：选ABD.对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，错误；对于选项D，因为＝(a＋b)，所以(a＋b)－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以＋≤，正确．故选ABD. 3．已知a＝log3 ，b＝，c＝log ，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选D.log ＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x为增函数，所以log35>log3 >log33＝1，因为函数y＝为减函数，所以<＝1，故c>a>b.故选D. 4．(2017·山东理，7)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　B　) A．a＋<<log2(a＋b) B．<log2(a＋b)<a＋ C．a＋<log2(a＋b)< D．log2(a＋b)<a＋< 解析：选B.法一：因为a>b>0，ab＝1， 所以log2(a＋b)>log2(2)＝1. 因为＝＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a， 又因为b＝，a>b>0，所以a>，解得a>1. 所以f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a(1＋a ln 2)<0， 所以f(a)在(1，＋∞)上单调递减． 所以f(a)<f(1)，即<. 因为a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)， 所以<log2(a＋b)<a＋.故选B. 法二：因为a>b>0，ab＝1，所以取a＝2，b＝， 此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2 5－1≈1.3， 所以<log2(a＋b)<a＋.故选B. 5．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. ①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__130__元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__15__. 解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时， 总价为60＋80＝140(元)，达到120元， 又因为x＝10，所以顾客需要支付140－10＝130(元). ②当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%； 当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x元，设总价为a元(a≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为＝0.8， 所以当a越小时，此比值越小．又a最小为120元(即买两盒草莓)，所以0.8(120－x)≥120×0.7，解得x≤15. 所以x的最大值为15. 购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x元，这时x占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x值最大．由此列式得(120－x)×0.8＝120×0.7，解得x＝15.所以x的最大值为15. 目标2　基本不等式 6．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　BC　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 解析：选BC.因为ab≤≤(ab∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为，(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，