第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　两个计数原理、排列与组合 1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m＋n__种不同的方法． (2)分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m×n__种不同的方法． 2．排列与组合 (1)概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照__一定的顺序__排成一列 组合 作为一组 (2)排列数与组合数 ①排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用__A__表示． ②组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用__C__表示． (3)排列数、组合数的公式及性质 公式 A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__＝ C＝＝＝ 性质 0！＝__1__；A＝__n！__ C＝C；C＝__C＋C__ 考点一　两个计数原理 　(2023·海南三亚期末)如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．现发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有(　　) A．9种 B．11种 C．13种 D．15种 【解析】　按焊接点脱落的个数将脱落情况分成4类： 脱落1个，有1，4，共2种； 脱落2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种； 脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种； 脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种， 由分类加法计数原理得，焊接点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13种．故选C. 【答案】　C 1．应用分类加法计数原理解决实际问题的步骤 (1)审题：认真阅读题设条件，理清题目要求． (2)分类：依据题设条件选择分类标准，做到不重不漏． (3)整合：整合各类情况得出结论． 2．利用分步乘法计数原理解题时的3个注意点 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事． (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定． [针对训练] 1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　B　) A．24 B．18 C．12 D．9 解析：选B.分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径，由分步乘法计数原理可知有6×3＝18(条)可以选择的最短路径，故选B. 2．(2023·河南洛阳联考)2022年牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另2个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有(　B　) A．15种 B．30种 C．90种 D．180种 解析：选B.分两步完成：第一步，选1人到甲博物馆，有5种分配方法；第二步，将剩余的4人各分配2人到另2个博物馆，有6种分配方法．根据分步乘法计数原理可得，不同的分配方法共有5×6＝30(种). 3．若一个三位正整数a1a2a3满足a1<a2且a2>a3，则称这个三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为__240__． 解析：若a2＝2，则百位数只能选1，个位数可选1或0，凸数为120与121，共2个，若a2＝3，则百位数有两种选择，个位数有三种选择，凸数有2×3＝6(个).若a2＝4，则满足条件的凸数有3×4＝12(个).…….若a2＝9，则满足条件的凸数有8×9＝72(个).所以所有凸数的个数为2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240. 考点二　两个计数原理的综合应用 角度一　与数字有关的问题 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答). 【解析】　当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960；当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个). 【答案】　1 080 角度二　涂色问题 如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，