第九章 平面解析几何(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程 1．直线的倾斜角 (1)定义： (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：__[0，π)__. 注意倾斜角的范围． 2．直线的斜率 条件 公式 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2 k＝____ 直线的倾斜角θ，且θ≠90° k＝__tan_θ__ 直线的一个方向向量坐标为(x，y)且x≠0 k＝____ 直线Ax＋By＋C＝0　(B≠0) k＝__－__ 3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 __y＝kx＋b__ 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 __＋＝1__ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 考点一　直线的倾斜角与斜率 (1)直线2x cos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．<k<2 B．k>2或k< C．k> D．k>2 【解析】　(1)直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.故选B. (2)易知kAP＝＝2，kBP＝＝，作出直线AP，BP，线段AB，如图： 因为直线l与线段AB始终没有交点， 所以直线l的斜率k的取值范围是.故选A. 【答案】　(1)B　(2)A 1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x的单调性求解． 2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在的情况． [针对训练] 1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为__4__． 解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是__[－，0)∪__． 解析：当α∈时，k＝tan α∈； 当α∈时，k＝tan α∈[－，0). 综上得k∈[－，0)∪. 考点二　直线的方程 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5. 【解】　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式求解． 设直线的倾斜角为α，则sin α＝(0≤α≤π). 从而cos α＝±，则斜率k＝tan α＝±. 故所求直线方程为y＝±(x＋4)， 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由题设知直线在两坐标轴上的截距均不为0，设直线方程为＋＝1， 因为直线过点(－3，4)， 所以＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋10－5k＝0. 所以原点到直线的距离d＝＝5， 解得k＝， 所以所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 求解直线方程的2种方法 直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程 待定系数法 ①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程 [针对训练] 3．(多选)直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 解析：选ABC.当直线l经过坐标原点时，斜率k＝＝2，所以直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0； 当直线l不过坐标原点时，设直线l的方程为x±y＝m，把点A(1，2)代入可得1－2＝m或1＋2＝m，解得m＝－1或m＝3，故直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，直线l的方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC. 4．若一条直线经过点A(－2，2)，并且与