第八章 立体几何(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　基本立体图形 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相__平行__且__全等__ 多边形 互相__平行__ 侧棱 __平行且相等__ 相交于__一点但不一定相等 延长线交于__一点__ 侧面 形状 __平行四边形__ __三角形__ __梯形__ 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截 面 全等的 矩形 全等的 等腰三角形 全等的 等腰梯形 __圆__ 侧面展开图 __矩形__ __扇形__ __扇环__ 3．空间几何体的直观图常用__斜二测__画法来画，其规则是： (1)“斜”：直观图中，x′轴，y′轴的夹角为__45°或135°__． (2)“二”：原图形中平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的__一半__． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧 ＝__2πrl__ S圆锥侧＝ __πrl__ S圆台侧＝ __π(r＋r′)l__ 5．空间几何体的表面积与体积公式 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝__S底h__ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝__S底h__ 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝__4πR2__ V＝__πR3__ 考点一　空间几何体的结构特征 给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　①不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等． 【答案】　A 下列命题正确的是(　　) A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形 【解析】　根据A、B选项作出反例如图所示，可知A、B选项错误．对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分，故选C. 【答案】　C (多选)给出下列命题，其中真命题是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 【解析】　A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面相互平行或它们的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；D正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．故选BCD. 【答案】　BCD 有关空间几何体结构特征的解题策略 (1)关于空间几何体的结构特征辨析的关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需单一个反例． (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系． (3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． [针对训练] 1．给出以下命题： ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.由圆台的定义可知①错误．②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确． 考点二　空间几何体的直观图 一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′，A′B′⊥x′，B′C′∥y′，则