第七章 数列(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　数列的概念及其表示 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照__一定顺序__排列的一列数 数列的项 数列中的__每一个数__ 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项与__序号n__之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝__a1＋a2＋…＋an__ 2．数列的表示法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项 公式 把数列的通项使用__公式__表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法 考点一　数列的有关概念及通项公式 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－(n－1)　　 B．an＝n2－1 C．an＝ D．an＝ 【解析】　观察数列1，3，6，10，…可以发现 第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 所以an＝.故选C. 【答案】　C 数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________． 【解析】　数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝. 【答案】　 由数列前几项归纳数列通项公式的方法及策略 (1)常用方法 观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式． (2)具体策略 ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n，3n等形式递增； ③拆项后的特征； ④各项的符号特征和绝对值的特征； ⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理． [针对训练] 1．数列，，，，…的一个通项公式是__an＝__． 解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a－1＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝. 2．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是__an＝(－1)n·__． 解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…故其通项公式可以为an＝(－1)n·. 考点二　由an与Sn的关系求an (1)(2022·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． (2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝________，{an}的通项公式为________． 【解析】　(1)因为Sn＝，a4＝32，所以S4－S3＝－＝32，所以a1＝，故选A. (2)数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 所以(2n－1)an＝2，所以an＝. 当n＝1时，a1＝2，上式也成立． 所以an＝. 【答案】　(1)A　(2)2　an＝ 已知Sn求an的3个步骤 已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式，主要分成以下3个步骤完成： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． [针对训练] 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝____． 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝ 4．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝__(－2)n－1__． 解析：由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1. 考点三　由数列的递推关系求通项 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n (2)若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥