第六章 平面向量、复数(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有__大小__又有方向的量；向量的大小叫做向量的__长度__(或模) 向量由方向和长度确定，不受位置影响 零向量 长度为__0__的向量；其方向是任意的 记作__0__ 单位向量 长度等于__1个单位__的向量 非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 方向__相同__或相反的非零向量；平行向量又叫做共线向量 0与任意向量__平行__ 相等向量 长度__相等__且方向__相同__的向量 两个向量不能比较大小 相反向量 长度__相等__且方向__相反__的向量 0的相反向量为0 [注意]　(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们长度相等，但方向不一定相同． (3)任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝__b＋a__； 结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向__相反__； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝__(λμ)a__； (λ＋μ)a＝__λa＋μ_a__； λ(a＋b)＝__λa＋λb__ 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 考点一　平面向量的有关概念 给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同； ④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同． 其中叙述错误的命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C. 【答案】　C 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 【解析】　因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D. 当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．故选C. 【答案】　C 下列与共线向量有关的命题： ①相反向量就是方向相反的向量； ②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； ③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为________． 【解析】　因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的． 【答案】　①② 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． [针对训练] 1．(多选)下列四个命题中正确的是(　BC　) A．“向量a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” B．在平行四边形ABCD中，一定有＝ C．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线 D．若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 解析：选BC.A不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，则a与b是相反向量，即a＝－b；当向量a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b.综上，“|a|＝|b|且a∥b”是“向量a＝b”的必要不充分条件．B正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，＝满足此条件．C正确，向量a与b不共线，所以向量a，b，a＋b与a－b都是非零向量，若向量a＋b与向量a－b共线，则存在唯一实数λ，使得a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，故此方程组无解，故假设不成立，所以向量a＋b与向量a－b不共线．D不正确，向量是既有大小又有方向