第五章 三角函数(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念 1．任意角 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着__端点__从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的分类：按旋转方向分为__正__角、__负__角、__零__角． (3)与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝__α＋k·360°，k∈Z__}． 2．弧度制 (1)弧度角：把长度等于__半径__长的弧所对的圆心角称为__1弧度的角__． (2)度与弧度的换算：180°＝__π__rad，1°＝rad，1 rad＝度． (3)扇形的弧长和面积公式： 设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__Ra__，S＝__lR__． 3．任意角的三角函数 (1)终边与单位圆交点P(x，y)，sin α＝__y__；cos α＝__x__，tan α＝____(x≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝____，cos α＝____，tan α＝____(x≠0). 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．若α∈，则tan α>α>sin α. 4．象限角的集合 5．特殊角的三角函数值 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π sin α 0 1 0 －1 0 cos α 1 0 － － － －1 0 1 tan α 0 1 不存 在 － －1 － 0 不存 在 0 考点一　象限角与终边相同的角 若角α是第二象限角，则是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【解析】　因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， 所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角． 所以是第一或第三象限角． 【答案】　C 1．终边相同的角的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需角． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 3．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 (1)将θ的范围用含有k的不等式表示． (2)两边同时除以n或乘n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． [提醒]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在的直线上的角． [针对训练] 1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为__－675°和－315°__． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－≤k<－(k∈Z)， 从而k＝－2和k＝－1， 代入得β＝－675°和β＝－315°. 2．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为____． 解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为. 考点二　弧度制、扇形的弧长及面积公式 已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm). (2)由已知得，l＋2R＝20， 则l＝20－2R，0<R<10，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角). (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个