第四章 导数及其应用(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝____无限趋近于一个__常数A__，则称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0) 记法 当Δx→0时，____→__A__ 几何意义 是曲线y＝f(x)在点__(x0，f(x0))__处的__切线斜率__，相应的切线方程为__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__． 2．函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数． 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 3．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝__nxn－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝__ax_ln_a__ f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝loga x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝____ f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝____ 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；周期函数的导数还是周期函数． 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[cf(x)]′＝cf′(x). (3)[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__． (4)′＝__(g(x)≠0)__． 5．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__y′u·u′x__ 考点一　导数的计算 (2023·山东泰安高三月考)(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 【解析】　对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误，对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误． 【答案】　ACD 已知函数f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2 024)＋f(－2 024)＋f′(2 023)－f′(－2 023)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　因为f(x)＝＋x3， f(－x)＝＋(－x)3＝－x3， 所以f(－x)＋f(x)＝3. 因为f′(x)＝＋3x2， 所以f′(－x)＝＋3(－x)2＝＋3x2＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数． 所以f(2 024)＋f(－2 024)＋f′(2 023)－f′(－2023)＝3.故选C. 【答案】　C 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 【解析】　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x， 所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋， 所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋， 解得f′(2)＝－，故选D. 【答案】　D 函数求导应遵循的原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． [提醒]　当函数解析式中含有待定系数(例如f′(x0)，a，b)等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可． [针对训练] 1．(多选)下列求导运算不正确的是(　ABC　) A．′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex C．(x cos x)′＝－sin x D．′＝1＋ 解析：选ABC.对于A：′＝－·(ln x)′＝－， 对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex， 对于C：(x cos x)′＝cos x－x sin x， 对于D：′＝1＋.故选ABC. 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(