第二章 不等式(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　不等式性质与基本不等式 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b>0⇔a>b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b<0⇔a<b. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒__a>c__． (3)可加性：a＞b⇒a＋c__>__b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c__>__b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (5)可乘方：a＞b＞0⇒an__>__bn(n∈N，n≥1). (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3．基本不等式 (1)基本不等式成立的条件：__a>0，b>0__． (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__． 基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号). (2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号). 4．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则： (1)如果xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值__2__(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值____(简记：和定积最大). 三个重要的结论 (1)≥. (2)＋≥2(ab>0). (3)≤≤≤ (a>0，b>0). 考点一　比较大小与不等式的性质 已知a>b>0，m>0，则(　　) A．＝ B．> C．< D．与的大小关系不确定 【解析】　－＝＝. 因为a>b>0，m>0， 所以b－a<0，a＋m>0，所以<0. 即－<0.所以<.故选C. 【答案】　C (1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)若a＞0＞b＞－a，c<d<0，则下列结论：①ad＞bc；②＋<0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c).其中成立的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b>0时，由a>b有|a|>|b|， 所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C. (2)因为a＞0＞b，c<d<0，所以ad<0，bc＞0，所以ad<bc，故①错误． 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0， 因为c<d<0，所以－c＞－d＞0， 所以a(－c)＞(－b)(－d)， 所以ac＋bd<0， 所以＋＝<0，故②正确． 因为c<d，所以－c＞－d， 因为a＞b， 所以a＋(－c)＞b＋(－d)， 即a－c＞b－d，故③正确． 因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确．故选C. 【答案】　(1)C　(2)C 运用不等式的性质判断命题真假的策略 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [针对训练] 1．如果a<b<0，那么下列不等式成立的是(　D　) A．<　　　　 B．ab<b2 C．ac2<bc2 D．a2>ab>b2 2．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　BC　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 3．(2023·河北石家庄质量检测)(一题多解)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　C　) A．a2<－ab B．|a|<|b| C．> D．()a>()b 解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立．因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C. 优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C. 考点二　利用基本不等式求最值 角度一　配凑法求最值 (1)已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________． (2)已知0<x<1，则x(3－2x)的最大值为________． 【解析】　(1)因为x>，所以4x－5>0， 所以f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5. 当且仅当4x－5＝， 即x＝时取等号． (2)x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 【答案】　(1)5　(2) 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个