第一章 集合与常用逻辑用语(教师用书)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第一节　集合 1．元素与集合 (1)集合元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2)元素与集合的关系是__属于__或__不属于__关系，用符号__∈__或__∉__表示． (3)集合的表示法：__列举法__、__描述法__、__图示法__. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 __A⊆B__ 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 __AB__ 空集 空集是任何集合的__子集__，是任何非空集合的真子集 3．集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于A__且__属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} __A∩B__ 并集 所有属于A__或__属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} __A∪B__ 补集 全集U中__不属于__A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x∉A} __∁UA__ (1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，(A∪B)⊇A，(A∪B)⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. (4)补集的性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A. (5)子集的个数：含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B. (7)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 考点一　集合的含义与表示 设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【解析】　依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素． 【答案】　C 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. 【答案】　C 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合时，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的三个性质中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． [针对训练] 1．(2023·新课标Ⅱ卷，5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　B　) A．2 B．1 C． D．－1 解析：选B.依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B. 考点二　集合间的基本关系 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________． 【解析】　(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}． (2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A. 当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}， 当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图， 所以所以0<m≤1. 综上所述，m的取值范围为(－∞，1]. 【答案】　(1)D　(2)(－∞，1] 判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判