精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

华东师范大学附属东昌中学 2023年度第一学期期末考试高一年级数学试卷 满分：100分 完卷时间：90分钟 一、填空题：（本大题共有12题，每题填对得3分，满分36分） 1. 函数的定义域是________. 2. 将化为有理数指数幂的形式为__________． 3 已知全集，，则 _________ 4. 已知关于方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是_________命题（填“真”或“假”） 5. 设函数偶函数．且时，．则_______． 6. 设、正数，且，则 _____________（填“，，，”） 7. 在△ABC中 ，则 ___________. 8. 若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为_________ 9. 对任意，都成立，则实数的取值范围为__________. 10. 若，则__． 11. 设，方程的解集为__________. 12. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________． 二、选择题：（本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得3分，否则一律得零分，满分12分） 13. 若且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 15. 设角满足条件，则所在的象限是（ ） A. 一、二 B. 二、三 C. 二、四 D. 不能确定 16. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点，，，使得为等边三角形； 其中正确的序号为（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①②③ 三、解答题（本大题满分52分，8+8+10+12+14）本大题共有5题，必须写出必要的步骤. 17. 平面直角坐标系 中，单位圆与 轴正半轴交于点 ，角 的终边与单位圆的交点 位于第二象限. （1）若弧的长为，写出的坐标，并计算扇形 的面积； （2）角的终边绕点逆时针旋转 后恰与角的终边重合，若，求 的值. 18. 已知，且. （1）化简并求值： ； （2）若，求. 19. 某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态． （1）求函数的解析式； （2）该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由． 20. 已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华东师范大学附属东昌中学 2023年度第一学期期末考试高一年级数学试卷 满分：100分 完卷时间：90分钟 一、填空题：（本大题共有12题，每题填对得3分，满分36分） 1. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 2. 将化为有理数指数幂的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 3. 已知全集，，则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义直接求解. 【详解】由题全集，，所以. 故答案为：. 4. 已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是_________命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 5. 设函数是偶函数．且时，．则_______． 【答案】9 【解析】